[論文レビュー] Topology of complex reflection arrangements

David Bessis|ArXiv.org|Nov 29, 2004

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、すべての良い生成の複素反射群に対して、複素ベクトル空間内の反射超平面の補集合が $K(/pi,1)$ 空間であることを証明し、これらの群に対する長年の $K(/pi,1)$ 予想を確立する。双対ぶらいどモノイドの新規構成とリャシュコ＝ルイイエンジェ写像の一般化を用いて、複素化された実の場合についてもデリーニの元来の結果とは独立した新しい証明が与えられ、G24, G27, G29, G33, G34 の5つの例外的複素反射群が解決され、残りは G31 のみが未解決のままとなる。また、良い生成の群のぶらいど群がガーディス群であることも確立し、いくつかの例外的ぶらいど群の予想される表示も確認する。

ABSTRACT

Let $V$ be a finite dimensional complex vector space and $W\subset \GL(V)$ be a finite complex reflection group. Let $V^{ eg}$ be the complement in $V$ of the reflecting hyperplanes. A classical conjecture predicts that $V^{ eg}$ is a $K(pi,1)$ space. When $W$ is a complexified real reflection group, the conjecture follows from a theorem of Deligne. Our main result validates the conjecture for duality (or, equivalently, well-generated) complex reflection groups. This includes the complexified real case (but our proof is new) and new cases not previously known. We also address a number of questions about $π_1(W\cq V^{ eg})$, the braid group of $W$.

研究の動機と目的

• すべての良い生成の複素反射群、特に以前に解決されていなかった例外的ケースについて、$K(\pi,1)$ 予想を解決すること。
• デリーニの元来の結果とは独立して、複素化された実反射群の $K(\pi,1)$ 性質に対する新しい証明を提供すること。
• 良い生成の複素反射群のぶらいど群がガーディス群であることを確立し、有利なアルゴリズム的および幾何的性質を示すこと。
• G_{29}, G_{33}, G_{34} の例外的群のぶらいど群の予想される表示が正しいことを確認し、それらを幾何的構成から導出できることを示すこと。
• 古典的なコクセター系における非交差分割とカタラン数の理論を、すべての良い生成の複素反射群へ一般化し、古典的結果を拡張すること。

提案手法

• 良い生成の複素反射群に対して双対ぶらいどモノイドを構成し、古典的ぶらいどモノイドを一般化し、群の反射構造を用いる。
• リャシュコ＝ルイイエンジェ写像を用いて、商オビホルド $W\backslash\backslash V^{\text{reg}}$ をタイプ $A$ 反射オビホルドの分岐被覆として記述し、組合せ的構造の幾何的リフトを可能にする。
• 基本オビホルドからのチェンバーやギャラリーの引き戻しを用いて、$V^{\text{reg}}$ の万有被覆の半代数的開被覆を定義し、交わりがすべて可縮になるようにする。
• 双対ぶらいどモノイドのラティス構造を活用して、この被覆の神経が万有被覆とホモトピー同値であることを証明する。
• 双対ぶらいどモノイドが可除性に関してラティスであることを示し、これにより神経が可縮であり、したがって $K(\pi,1)$ 性質が成立することを示す。
• 得られた位相的および代数的構造を応用して、ぶらいど群 $B(W) = \pi_1(W\backslash\backslash V^{\text{reg}})$ の性質を導出する。これには、ねじれのない性質、語問題と共役問題の解ける性質、および二自動性が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての良い生成の複素反射群、特に例外的型 $G_{24}, G_{27}, G_{29}, G_{33}, G_{34}$ について、$K(\pi,1)$ 予想は成り立つか？
• RQ2 良い生成の複素反射群のぶらいど群がガーディス群であることを示せるか？ そして、これによりどのような構造的性質が導かれるか？
• RQ3 G_{29}, G_{33}, G_{34} のぶらいど群の予想される表示は正しいか？ そして、幾何的構成から導出可能か？
• RQ4 双対ぶらいどモノイドの構成は、非交差分割やカタラン数といった古典的不変量を、非実複素反射群へどのように一般化できるか？
• RQ5 双対ぶらいどモノイド理論は、悪い生成の群へ拡張可能か？ そして、ガーディスに類似した性質を保つためにどのような修正が必要か？

主な発見

• すべての良い生成の複素反射群に対して、$V^{\text{reg}}$ の万有被覆は可縮である。これは、これらの群に対する $K(\pi,1)$ 予想が正当化されることを示している。
• すべての既約で良い生成の複素反射群 $W$ のぶらいど群 $B(W)$ はガーディス群である。これは、ねじれがないこと、語問題と共役問題が解けること、および二自動的であることなどを示唆する。
• すべての既約で良い生成の複素反射群 $W$ に対して、$B(W)$ の中心は巡回群である。これは、ブロウエ＝マル＝ルイエンジェルの予想を確認する。
• 文献[7]で与えられた $B(G_{29})$, $B(G_{33})$, $B(G_{34})$ の予想される表示は正しい。これらは、それまでに知られていなかった、これらの群の最初の既知の表示である。
• タイプ $W$ の一般化された非交差分割ラティスは、双対ぶらいどモノイドの可除因子のラティスと同型であり、長さ $N$ の弱鎖に対して、そのポアンカーレ多項式は公式 $\sum_{s\in S} t^{l(s)} = \prod_{i=1}^n \frac{d_i + N h}{d_i}$ に一致する。
• 例外的群では、非交差分割の数（カタラン数）は $\operatorname{Cat}(W) = \prod_{i=1}^n \frac{d_i + h}{d_i}$ であり、$G_{24}$ では30、$G_{34}$ では1584 に達する。また、集合 $R_c$ に含まれる反転の数は、ポアンカーレ多項式における $t$ の係数と一致する。