[論文レビュー] Topology of probability measure spaces, II

Тарас Банах|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2012

Advanced Topology and Set Theory参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、局所凸空間上のラドン確率測度の重心写像について調査し、それが連続であるための必要十分条件として、対応する集合が有界であることであることを証明する。また、メトライズ可能な空間の圏上でラドン確率測度の函手 $\varsigma$ がモノイダル的であることを確立し、函手 $P_{\tau}$ および $\hat{P}$ を有界距離空間の圏および一様空間の圏へ拡張し、それらのメトライズ可能性および一様連続性の性質を分析する。

ABSTRACT

This paper is a follow-up to the author's work "Topology of probability measure space, I" devoted to investigation of the functors $\hat P$ and $P_τ$ of spaces of probability $τ$-smooth and Radon measures. In this part, we study the barycenter map for spaces of Radon probability measures. The obtained results are applied to show that the functor $\hat P$ is monadic in the category of metrizable spaces. Also we show that the functors $\hat P$ and $P_τ$ admit liftings to the category $BMetr$ of bounded metric spaces and also to the category $Unif$ of uniform spaces, and investigate properties of those liftings.

研究の動機と目的

• ラドン確率測度の空間における重心写像とその連続性の性質を調査すること。
• 重心写像を用いて、メトライズ可能な空間の圏における函手 $\hat{P}$ がモノイダル的であることを証明すること。
• 函手 $P_{\tau}$ および $\hat{P}$ を有界距離空間の圏 ($\mathcal{BM}etr$) および一様空間の圏 ($\mathcal{U}nif$) へ拡張すること。
• 拡張された函手のメトライズ可能性および一様連続性を $\mathcal{BM}etr$ および $\mathcal{U}nif$ で分析すること。
• 特にデュドネおよびヒューイットの完全性に関する関係を含め、$P_{\tau}$ および $\hat{P}$ が完全性タイプの性質を保存するかという未解決の問題に取り組むこと。

提案手法

• 局所凸空間 $E$ の弱有界な部分集合 $X$ に対して、重心写像 $b_X: \hat{P}(X) \to E^{**}$ を定義する。ここで、$f \in E^*$ に対して $b_X(\mu)(f) = \mu(f|X)$ である。
• $b_X$ がアフィン的であり、任意の $x \in X$ に対して $b_X(\delta_x) = x$ を満たすことを示す。
• 近傍と弱有界集合に関する位相的議論を用いて、$b_X$ が連続であることと $X$ が $E$ で有界であることとは同値であることを証明する。
• 有界擬距離 $p_\tau$ を介して函手 $P_{\tau}$ および $\hat{P}$ を圏 $\mathcal{BM}etr$ へ持ち上げる。これにより一様構造 $\mathcal{U}_\tau$ が誘導される。
• 任意の有界距離空間間の一様連続写像 $f$ に対して、写像 $P_{\tau}(f)$ が一様連続であることを示す。
• 一様埋め込みおよびアスリの定理を用いて、一様空間の設定において $P_{\tau}(X)$ が完全有界であることと $X$ が完全有界であることとは同値であることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重心写像 $b_X: \hat{P}(X) \to E^{**}$ が連続となる条件は何か？
• RQ2 函手 $\hat{P}$ はメトライズ可能な空間の圏でモノイダル的か？また、重心写像はその証明にどのように寄与するか？
• RQ3 $P_{\tau}$ および $\hat{P}$ は有界距離空間および一様空間の圏へ持ち上げ可能か？また、これらの持ち上げが保持する性質は何か？
• RQ4 $\hat{P}$ は一様空間で完全性を保存するか？この文脈での制限は何か？
• RQ5 一様空間 $X$ の完全有界性と $P_{\tau}(X)$ の完全有界性との関係は何か？

主な発見

• 重心写像 $b_X: \hat{P}(X) \to E^{**}$ は、集合 $X \subset E$ が有界であることと同値に連続である。
• 重心写像およびその性質を用いて、メトライズ可能な空間の圏において函手 $\hat{P}$ がモノイダル的であることが示された。
• $P_{\tau}$ および $\hat{P}$ は有界距離空間の圏 $\mathcal{BM}etr$ へ持ち上げ可能であり、写像の一致連続性を保存する。
• $P_{\tau}$ および $\hat{P}$ は一様空間の圏 $\mathcal{U}nif$ へも持ち上げ可能であり、任意の一様連続写像 $f$ に対して $P_{\tau}(f)$ が一様連続である。
• 一様空間 $(X, \mathcal{U})$ が完全有界であることと、$(P_{\tau}(X), \mathcal{U}_\tau)$ が完全有界であることとは同値である。
• 函手 $\hat{P}$ は一般に完全一様空間を保存しない。これは、非可算な $A$ に対して $\hat{P}(\mathbb{R}^A)$ に収束点を持たないコーシー列が存在することによって示された。