[論文レビュー] Topology of quantum vacuum

G. E. Volovik|arXiv (Cornell University)|Nov 20, 2011

Quantum, superfluid, helium dynamics被引用数 21

ひとこと要約

本稿では、標準模型の量子真空がトポロジカル位相であると提唱し、ギャップのないフェルミオンがバルク、表面、およびヴォルテックスコアで運動量空間のトポロジーによって保護されることを示す。運動量空間および座標空間におけるトポロジカル不変量は、普遍性クラス、発現するローレンツ不変性、ゲージおよび重力場を規定し、トポロジーに起因するローレンツ不変性の破れがホラヴァ＝リフシッツ重力に繋がることを示唆する。一方、トポロジカルな要因によって生じるローレンツ不変性の破れは、ホラヴァ＝リフシッツ重力に至る。

ABSTRACT

Topology in momentum space is the main characteristics of the ground states of a system at zero temperature, the quantum vacua. The gaplessness of fermions in bulk, on the surface or inside the vortex core is protected by topology. Irrespective of the deformation of the parameters of the microscopic theory, the energy spectrum of these fermions remains strictly gapless. This solves the main hierarchy problem in particle physics. The quantum vacuum of Standard Model is one of the representatives of topological matter alongside with topological superfluids and superconductors, topological insulators and semi-metals, etc. There is a number of of topological invariants in momentum space of different dimensions. They determine universality classes of the topological matter and the type of the effective theory which emerges at low energy, give rise to emergent symmetries, including the effective Lorentz invariance, and emergent gauge and gravitational fields. The topological invariants in extended momentum and coordinate space determine the bulk-surface and bulk-vortex correspondence, connecting the topology in bulk with the real space. The momentum space topology gives some lessons for quantum gravity. In effective gravity emerging at low energy, the collective variables are the tetrad field and spin connections, while the metric is the composite object of tetrad field. This suggests that the Einstein-Cartan-Sciama-Kibble theory with torsion field is more relevant. There are also several scenarios of Lorentz invariance violation governed by topology, including splitting of Fermi point and development of the Dirac points with quadratic and cubic spectrum. The latter leads to the natural emergence of the Horava-Lifshitz gravity.

研究の動機と目的

• 標準模型の量子真空を物質のトポロジカル位相として確立すること。
• 運動量空間におけるトポロジーがギャップのないフェルミオンが摂動に対して保護される仕組みを説明すること。
• トポロジカル不変量から発現する対称性、特に有効ローレンツ不変性を導出すること。
• バルクトポロジーと表面およびヴォルテックスコア状態を、バルク-表面およびバルク-ヴォルテックス対応関係を通じて結びつけること。
• 特にトーションを伴うアインシュタイン＝カルタン＝スィアマ＝キッブル理論の関連性を含め、量子重力への影響を検討すること。

提案手法

• さまざまな次元の運動量空間におけるトポロジカル不変量の分類を通じて、トポロジカル物質の普遍性クラスを定義する。
• バルク-表面およびバルク-ヴォルテックス対応関係を用いて、運動量空間のトポロジーと実空間のフェルミオンモードを結びつける。
• トポロジカル不変量から生じる有効低エネルギー理論の分析、特に発現するゲージおよび重力場を含む。
• 低エネルギー極限における有効計量を四元ベクトル場およびスピン接続の合成として導出する。
• トポロジーに起因するローレンツ不変性の破れのシナリオ（フェルミ点の分裂、二次・三次ディラック点など）を調査する。
• 三次元スペクトルを持つディラック点がトポロジーから生じる場合、ホラヴァ＝リフシッツ重力が自然に得られることを特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 運動量空間におけるトポロジーは、量子真空内のフェルミオンのギャップレス性をどのように保護するのか？
• RQ2 トポロジカル不変量は、有効低エネルギー理論の普遍性クラスおよび発現する対称性をどのように決定するのか？
• RQ3 バルク-表面およびバルク-ヴォルテックス対応関係は、運動量空間におけるトポロジーからどのように生じるのか？
• RQ4 なぜトーションを伴うアインシュタイン＝カルタン＝スィアマ＝キッブル理論が、発現する重力フレームワークにおいて一般相対性理論よりもより適切なのか？
• RQ5 トポロジーは、特定のディラック点構造を通じてどのようにホラヴァ＝リフシッツ重力の発現を引き起こすのか？

主な発見

• 標準模型の量子真空は、バルク、表面、およびヴォルテックスコアに存在するフェルミオンが運動量空間におけるトポロジーによって保護されるトポロジカル位相である。
• 運動量空間におけるトポロジカル不変量は普遍性クラスを決定し、低エネルギー有効理論における発現的ローレンツ不変性を導く。
• 発現する重力は、四元ベクトル場およびスピン接続を基本変数とし、計量は合成的対象として現れる。
• この枠組みにおける発現的重力の自然な有効理論は、トーションを伴うアインシュタイン＝カルタン＝スィアマ＝キッブル理論である。
• トポロジーに起因するローレンツ不変性の破れは、二次または三次分散を示すディラック点を生じさせ、自然にホラヴァ＝リフシッツ重力に至る。
• バルク-表面およびバルク-ヴォルテックス対応関係は、拡張された運動量空間および座標空間におけるトポロジカル不変量によって支配される。