[論文レビュー] Topology of the spaces of Morse functions on surfaces

Elena Kudryavtseva|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2011

Topological and Geometric Data Analysis被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、閉じた向き付け可能曲面 $ M $ 上のモーリー関数の空間 $ F $ と、$ R \times \widetilde{\mathcal{M}} $ の間にホモトピー同値を確立する。ここで $ R $ はオイラー特徴標数 $ \chi(M) $ に依存する多様体（例：$ \mathbb{R}P^3 $、$ S^1 \times S^1 $、または一点）であり、$ \widetilde{\mathcal{M}} $ はフレーム付きモーリー関数の普遍モジュライ空間である。この結果により、$ F $ のホモトピー的性質は $ \widetilde{\mathcal{M}} $ の組合せ的・層状トポロジーに還元され、そのベッチ数に対するモーリー型不等式が導かれる。

ABSTRACT

Let $M$ be a smooth closed orientable surface, and let $F$ be the space of Morse functions on $M$ such that at least $χ(M)+1$ critical points of each function of $F$ are labeled by different labels (enumerated). Endow the space $F$ with $C^\infty$-topology. We prove the homotopy equivalence $F\sim R imes{\widetilde{\cal M}}$ where $R$ is one of the manifolds ${\mathbb R}P^3$, $S^1 imes S^1$ and the point in dependence on the sign of $χ(M)$, and ${\widetilde{\cal M}}$ is the universal moduli space of framed Morse functions, which is a smooth stratified manifold. Morse inequalities for the Betti numbers of the space $F$ are obtained.

研究の動機と目的

• 閉じた向き付け可能曲面 $ M $ 上のモーリー関数の空間 $ F $ のホモトピー型を、少なくとも $ \chi(M)+1 $ 個のラベル付き臨界点を持つ場合に特定すること。
• 空間 $ F $ のトポロジカルな複雑さを、フレーム付きモーリー関数の普遍モジュライ空間 $ \widetilde{\mathcal{M}} $ の研究に還元すること。
• 層状構造を持つ $ \widetilde{\mathcal{M}} $ を用いて、$ F $ のベッチ数に対するモーリー型不等式を導出すること。
• オイラー特徴標数 $ \chi(M) $ の符号に依存する $ R $ を用いたホモトピー同値 $ F \sim R \times \widetilde{\mathcal{M}} $ を確立すること。

提案手法

• $ F $ のラベル付き臨界点を備えた $ C^\infty $-位相の使用。
• フレーム付きモーリー関数を用いて、滑らかな層状多様体としての普遍モジュライ空間 $ \widetilde{\mathcal{M}} $ の構成。
• 先行研究で確立されたホモトピー同値 $ F \sim \mathbb{F} $（$ \mathbb{F} $ はフレーム付きモーリー関数の空間）の適用。
• $ \mathbb{F}^1 $（固定ラベル付きのフレーム付き関数の部分空間）と $ \mathscr{D}^0 \times \widetilde{\mathcal{M}} $ の間に同相写像 $ \mathbb{F}^1 \approx \mathscr{D}^0 \times \widetilde{\mathcal{M}} $ を証明すること。
• $ \widetilde{\mathcal{M}} $ における自然な層状構造と誘導された近傍層状構造を用いて、そのホモロジーおよびベッチ数を分析すること。
• $ \widetilde{\mathcal{M}} $ の構造を用いて、特に $ M = S^2 $ の場合に $ F $ のベッチ数に対するモーリー不等式を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた向き付け可能曲面 $ M $ 上の少なくとも $ \chi(M)+1 $ 個のラベル付き臨界点を持つモーリー関数の空間 $ F $ のホモトピー型は何か？
• RQ2 空間 $ F $ のトポロジーは、より単純なトポロジカル不変量の観点からどのように分解されるか？
• RQ3 $ F $ のベッチ数に対する不等式は何か？ また、それらはモジュライ空間 $ \widetilde{\mathcal{M}} $ の構造からどのように導かれるか？
• RQ4 $ \widetilde{\mathcal{M}} $ のオイラー特徴標数は、特に $ M = S^2 $ の場合に $ M $ のトポロジーとどのように関係するか？

主な発見

• 閉じた向き付け可能曲面 $ M $ 上の少なくとも $ \chi(M)+1 $ 個のラベル付き臨界点を持つモーリー関数の空間 $ F $ は、$ \chi(M) $ の符号に応じて $ \mathbb{R}P^3 $、$ S^1 \times S^1 $、または一点である $ R $ と $ \widetilde{\mathcal{M}} $ の積空間にホモトピー同値である。
• フレーム付きモーリー関数の普遍モジュライ空間 $ \widetilde{\mathcal{M}} $ は、サドル点の数を $ q $ とすると次元 $ 3q $ の滑らかな層状多様体である。
• $ M = S^2 $ の場合、$ \widetilde{\mathcal{M}} $ のベッチ数に対するモーリー不等式が導出され、そのオイラー特徴標数が計算される。
• 固定ラベル付きのフレーム付き関数の空間 $ \mathbb{F}^1 $ は、微分同相群の単位成分 $ \mathscr{D}^0 $ と $ \widetilde{\mathcal{M}} $ の積空間に同相である。
• $ F^1 \hookrightarrow F $ の包含写像と $ \mathbb{F} \to F $ の忘れ去り写像は両方ホモトピー同値であり、$ \widetilde{\mathcal{M}} $ への還元を正当化する。
• 本結果により、$ F $ のトポロジー的還元が $ \widetilde{\mathcal{M}} $ の組合せ的・層状トポロジーに完全に達成され、さらなるホモロジー的解析が可能になる。