[論文レビュー] Topos Semantics for Higher-Order Modal Logic

Steve Awodey, Kohei Kishida+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2014

Logic, Reasoning, and Knowledge参考文献 16被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、標準的な部分対象分類子 Ω を完全ヘイティング代数 H に置き換えることで、高階モーダル論理のトポス的意味論を導入する。これにより、余モノイド構造を介したモーダル作用素が可能になる。主な貢献は、Kripke、ネighborhood、シーヴ意味論を統一的に扱うフレームワークを、1つのトポス的モデル内で実現したことである。

ABSTRACT

We define the notion of a model of higher-order modal logic in an arbitrary elementary topos $\mathcal{E}$. In contrast to the well-known interpretation of (non-modal) higher-order logic, the type of propositions is not interpreted by the subobject classifier $Ω_{\mathcal{E}}$, but rather by a suitable complete Heyting algebra $H$. The canonical map relating $H$ and $Ω_{\mathcal{E}}$ both serves to interpret equality and provides a modal operator on $H$ in the form of a comonad. Examples of such structures arise from surjective geometric morphisms $f : \mathcal{F} o \mathcal{E}$, where $H = f_\ast Ω_{\mathcal{F}}$. The logic differs from non-modal higher-order logic in that the principles of functional and propositional extensionality are no longer valid but may be replaced by modalized versions. The usual Kripke, neighborhood, and sheaf semantics for propositional and first-order modal logic are subsumed by this notion.

研究の動機と目的

• Kripkeやシーヴ意味論といった既存のモデルを一般化する高階モーダル論理の意味論を開発すること。
• 標準的な部分対象分類子 Ω を完全ヘイティング代数 H に置き換えることで、モーダル作用素を内部化すること。
• この枠組みにおいて、高階論理における関数的および命題的外延性が、モーダル化されたバージョンに置き換えられることを示すこと。
• すべての標準的な命題的および一階モーダル意味論（Kripke、ネighborhood、シーヴ）が、このトポス的モデルに包含されることを確立すること。
• モーダル作用素が、全射的幾何的同型写像から誘導される余モノイド構造から自然に生じることを示すこと。

提案手法

• モデルは、部分対象分類子 ΩE の代わりに完全ヘイティング代数 H を用いた初等トポス E 内で定義される。
• モーダル作用素 □ は、H と ΩE 間の随伴から生じる余モノイド ∆HΓH として解釈される。
• 構造は全射的幾何的同型写像 f : F → E から生じる。H = f∗ΩF であり、内部化を通じて既知の意味論と関連づけられる。
• 論理はベック＝シェヴァリの条件を内部化し、引き戻しの下で代入が適切に動作することを保証する。
• ドメインを順序付き半順序 K 上のプレシャーヴを解釈することで、Kripke-シーヴ意味論が一般化される。
• ハイパーコンネクテッド・ローカリック分解と内部シーヴトポスを用いて、代数的モデルから幾何的モデルを回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 高階モーダル論理は、どのように一様にトポス的枠組み内で解釈可能か？
• RQ2 高階モーダル論理において、関数的および命題的外延性は、何に置き換えられるか？
• RQ3 標準的なモーダル意味論（Kripke、ネighborhood、シーヴ）は、このモデルの特殊ケースとしてどのように生じるか？
• RQ4 モーダル作用素は、トポスにおける幾何的同型写像から体系的に導出可能か？
• RQ5 完全ヘイティング代数 H は、どのように ΩE を置き換えるのか、その役割は何か？

主な発見

• 本稿では、任意の初等トポス E において、部分対象分類子 ΩE の代わりに完全ヘイティング代数 H を用いることで、高階モーダル論理を解釈できることを確立している。
• モーダル作用素 □ は、H における余モノイド ∆HΓH として実現され、H と ΩE 間の随伴から生じる。
• 関数的および命題的外延性は、このモデルでは成立しないが、論理的整合性を保つモーダル化されたバージョンに置き換えられる。
• すべての標準的な命題的および一階モーダル意味論（Kripke、ネighborhood、シーヴ）が、このトポス的フレームワークに包含されている。
• 構成により、すべての幾何的モデルが、全射的幾何的同型写像 f : F → E に対して H = f∗ΩF である内部構造を介して、同等の代数的モデルに帰着されることを示している。
• ハイパーコンネクテッド・ローカリック分解を用いることで、幾何的モデルから代数的モデルを回復でき、幾何的および代数的表現の双対性が示されている。