[論文レビュー] Topos-theoretic Model of the Deutsch multiverse

А.К. Гуц|ArXiv.org|Mar 24, 2002

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ひとこと要約

本稿は、直感主義論理に基づく合成微分幾何学（SDG）を用いて、デイヴィッド・ Deutsch の多宇宙をトポス理論的モデルとして提示する。平行宇宙は、トポス枠組み内での4次元ローレンツ多様体として埋め込まれる。主な貢献は、光子のゴースト（エネルギーも運動量も持たない電磁波）が、平行宇宙間で同定されることであり、スピンターなどの粒子は、多宇宙ハイパースペース内での空間的位置に応じて、実粒子またはゴースト的双子として現れる。

ABSTRACT

The Deutsch multiverse is collection of parallel universes. In this article a formal theory and a topos-theoretic model of the Deutsch multiverse are given. For this the Lawvere-Kock Synthetic Differential Geometry and topos models for smooth infinitesimal analysis are used. Physical properties of multi-variant and many-dimensional parallel universes are discussed. Quantum fluctuations of universe geometry are considered. Photon ghosts in parallel universes are found.

研究の動機と目的

• 一般相対性理論の4次元構造を保ちつつ、合成微分幾何学（SDG）に裏打ちされたトポス理論的モデルとして、デュイッチの多宇宙を形式化すること。
• ハイパースペース内の高次元で、類似または著しく異なる宇宙を含む、独立した4次元擬リーマン多様体としての平行宇宙をモデル化すること。
• 幾何学的量子揺らぎや、多宇宙枠組み内でのゴースト粒子の出現といった物理現象を探索すること。
• 無限小量や冪零元が、トポスモデルレベルでの物理的現実のモデル化に果たす役割を調査すること。
• ある宇宙における特定の場（例：光子）が、多宇宙ハイパースペース内での位置に応じて、エネルギー・運動量を持たないゴースト的性質を示すか、あるいは実粒子として現れるかを示すこと。

提案手法

• 直感主義論理に基づき、Kock-Lawvereの公理に従う合成微分幾何学（SDG）を用いて、多宇宙をトポス理論的モデルとして形式化すること。
• 実数を、無限小量（例：D = {x ∈ R | x² = 0}）を含む環 R に置き換えることで、滑らかな無限小解析を可能にする。
• locusの圏（I L^op）上の層として多宇宙のモデルを構築し、特に Set^{I L^{op}} を用いて滑らかな多様体を埋め込み、時空幾何学を一般化すること。
• 多宇宙を、SDGにおけるアインシュタイン場方程式を満たす4次元ローレンツ多様体（R⁴, g⁴）として定義し、g⁴ が R⁴_{ik} - ½g⁴_{ik}(R⁴ - 2Λ) = (8πG/c⁴)T_{ik} の解であることを保証すること。
• 関数 θ(a) ∈ ΔΔ（0の近傍で消える関数の環）を用いて粒子の振る舞いを定義：θ(a) = 1 - ε(a) で ε(0) = 0 とし、異なる宇宙における実粒子とゴースト粒子の区別を可能にする。
• SDGの積分および逆関数の公理を適用して、微分および積分の計算の一貫性を保証し、波動方程式やエネルギー運動量テンソルの物理的解釈を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デュイッチの多宇宙を、トポス理論と合成微分幾何学を用いてどのように形式化できるか？
• RQ2 多宇宙が、滑らかな無限小のトポス内での4次元ローレンツ多様体としてモデル化された場合、平行宇宙にどのような物理的性質が現れるか？
• RQ3 光子やスピンターなどの粒子が、『ゴースト』として（すなわち、エネルギーも運動量も持たずに）振る舞う条件は何か？
• RQ4 多宇宙ハイパースペース内での宇宙の位置（パrameter a でパrameter化）が、ある場が実粒子として現れるかゴーストとして現れるかにどのように影響を与えるか？
• RQ5 直感主義論理と非古典的環を用いて多宇宙の構造を記述できるか？また、排中律を否定することで生じる物理的結果は何か？

主な発見

• 光子のゴーストが自然に出現する：A → dA（d ∈ D）となる電磁波は、a = 0 の宇宙を除き、すべての宇宙でエネルギーも運動量も持たない。
• A が dA に置き換えられるとき、トポスモデル内ではエネルギー運動量テンソル T^{ij} が恒等的に消えることから、その波動がすべての宇宙（ベース宇宙を除く）でゴースト的性質を示すことが確認される。
• θ(a) = 1 - ε(a)（ε(0) = 0 かつ a ≠ 0 のとき ε(a) > 0）で定義される場 ψ は、a = 0 および ||a|| < r₀ を満たすすべての宇宙で実粒子であり、||a|| ≥ r₀ の宇宙ではゴーストとなる。
• θ(a) が a₀ ≠ 0 の中心にあり、||a - a₀|| < r₀ のときのみ θ(a) > 0 となる場合、ψ は a = a₀ を除くすべての宇宙でゴーストとなり、a = a₀ の宇宙では実粒子として振る舞う。
• 無限小量を含む環 R の使用により、多宇宙レベルでの時空位相および幾何学的量子揺らぎの整合的な幾何的・物理的解釈が可能になる。
• トポス Set^{I L^{op}} は、古典的集合論的モデルを仮定せず、論理的・代数的構造（SDG）から自然にゴースト粒子や非古典的振る舞いといった物理現象を生成する仮想現実生成器を提供する。