[論文レビュー] Toric Calabi-Yau Fourfolds, Duality Between N=1 Theories and Divisors that Contribute to the Superpotential

Volker Braun, Philip Candelas+2 more|ArXiv.org|Jan 29, 2000

Geometry and complex manifolds参考文献 21被引用数 9

ひとこと要約

この論文は、トーリックCalabi-Yau四fold上のF理論の compactification と、Calabi-Yau三fold上のヘテロティック理論の compactification の双対性を調査し、反射的多面体とヘテロティック理論のデータの間の対応を確立する。四foldの多面体からヘテロティックゲージ群やベクトル bundle データを抽出する手法を提供し、超ポテンシャルに寄与するのは算術的 genus が1である divisors のみであることを特定する—これは、SO(odd)、Sp(n)、G₂、F₄ などの非単純ラスの群では、χ(O_D) > 1 である場合、特定の divisors が寄与しなくなるという差異を示している。

ABSTRACT

We study issues related to F-theory on Calabi-Yau fourfolds and its duality to heterotic theory for Calabi-Yau threefolds. We discuss principally fourfolds that are described by reflexive polyhedra and show how to read off some of the data for the heterotic theory from the polyhedron. We give a procedure for constructing examples with given gauge groups and describe some of these examples in detail. Interesting features arise when the local pieces are fitted into a global manifold. An important issue is how to compute the superpotential explicitly. Witten has shown that the condition for a divisor to contribute to the superpotential is that it have arithmetic genus 1. Divisors associated with the short roots of non-simply laced gauge groups do not always satisfy this condition while the divisors associated to all other roots do. For such a `dissident' divisor we distinguish cases for which the arithmetic genus is greater than unity corresponding to an X that is not general in moduli (in the toric case this corresponds to the existence of non-toric parameters). In these cases the `dissident' divisor D does not remain an effective divisor for general complex structure. If however the arithmetic genus is less than or equal to 0, then the divisor is general in moduli and there is a genuine instability.

研究の動機と目的

• F理論のCalabi-Yau四foldとヘテロティック理論のCalabi-Yau三foldの間の双対性を、反射的多面体を用いて確立すること。
• トーリックデータから所望のゲージ群を持つ四foldを構成する体系的な手順を開発すること。
• 非単純ラスのゲージ群に対して、F理論コンパクト化におけるどの divisors が超ポテンシャルに寄与するかを特定すること。
• 算術的 genus と正則Euler標数 χ(O_D) が、moduli space 内で divisor が有効のまま残るかどうかを決定する役割を明確にすること。
• F理論の超ポテンシャルとヘテロティック理論の超ポテンシャルを比較し、Kählerパラメータに依存する点での不一致を分析すること。

提案手法

• F理論のCalabi-Yau四foldを記述するための反射的五次元多面体を用い、双対多面体の射影によって双対ヘテロティック三foldを抽出する。
• KLRY構成を用いて四fold X のファンを構成し、群作用を拡張してグローバル幾何を定義する。
• X からの除釈を射影してヘテロティック三fold Z 上の交差数を計算し、交差データを保存する前像を用いる。
• Wittenの基準を適用：divisor が超ポテンシャルに寄与するのは、その算術的 genus が1である場合に限る、すなわち χ(O_D) = 1 である。
• χ(O_D) > 1（非一般の moduli、非トーリックパラメータ）と χ(O_D) ≤ 0（真の不安定性、有効な寄与）の状況を区別する。
• F理論の超ポテンシャル（Kählerパラメータの3次式）とヘテロティック理論の超ポテンシャル（曲線体積の1次式）を比較し、無限小の楕円曲線ファイバー極限によって不一致を解消する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 F理論におけるCalabi-Yau四foldを記述する反射的多面体から、Calabi-Yau三fold上のヘテロティックコンパクト化のデータをどのように抽出できるか？
• RQ2 F理論コンパクト化における divisor が超ポテンシャルに寄与するための明確な基準は何か？
• RQ3 非単純ラスのゲージ群（例：SO(odd)、Sp(n)、G₂、F₄）における短根に対応する divisor が、なぜ超ポテンシャルに寄与しないことがあるのか？
• RQ4 正則Euler標数 χ(O_D) が、moduli space 内の一般の複素構造パラメータ空間で divisor が有効のまま残るかどうかをどのように決定するか？
• RQ5 F理論の超ポテンシャルがKählerパラメータに対して3次的であるのに対し、ヘテロティック理論では1次的であるという不一致は、どのように解消できるか？

主な発見

• 双対ヘテロティック三fold Z は、四fold X の双対多面体の射影によって得られ、その射影は ℙ¹ 上のファイブレーションに対応する。
• 算術的 genus が1（χ(O_D) = 1）である divisor は、超ポテンシャルに寄与するための必要十分条件である。これは Witten の基準による。
• 非単純ラスのゲージ群では、短根に対応する divisor が χ(O_D) > 1 である場合、寄与しなくなることがあり、これは非一般の moduli と非トーリックパラメータを示している。
• χ(O_D) ≤ 0 の場合、divisor は一般 moduli で有効のまま残り、真に超ポテンシャルに寄与する。これは物理的不安定性を示唆する。
• F理論の超ポテンシャルはKählerパラメータに対して3次的であるが、ヘテロティック理論では1次的である。不一致は無限小の楕円曲線ファイバー極限で解消される。
• 明示的な例では、非単純ラスの群では、一部の divisor が寄与し、他のものがないような混合構成が生じうる。これは、すべてまたはまったく寄与しないという予想とは対照的である。