[論文レビュー] Toric Degeneration of Bott-Samelson-Demazure-Hansen varieties

A. J. Parameswaran, Paramasamy Karuppuchamy|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 8被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、アフィン直線上の平坦な族を介して、ボット＝サマエルソン＝デマールシュ＝ハンセン（BSDH）多様体を代数的に退化させ、特異ファイバーが整なトーリック多様体となるように構成する。特異ファイバーが明確に定義されたアンピールコーンを備えたトーリック多様体であることを証明する。主な貢献は、制限されたトーリック多様体のアンピールコーンの完全な記述と、交差理論およびルート系のデータを用いたFano性の判定基準の提供である。

ABSTRACT

In this paper we construct a degeneration of Bott-Samelson-Demazure-Hansen varieties to toric varieties in an algebraic family and study the geometry of the resulting toric varieties. We give a natural set of torus invariant curves that generate the Chow group of $1$-cycles of the limiting toric variety and express the ample cone of this toric variety as a sub-cone of the ample cone of the corresponding Bott-Samelson-Demazure-Hansen variety. We also give a description of Extremal and Mori rays and determine when this toric variety is Fano.

研究の動機と目的

• アフィン直線上でのBSDH多様体のトーリック多様体への代数的退化を構成すること。
• 元のBSDH多様体のアンピールコーンを用いて、制限されたトーリック多様体のアンピールコーンを記述すること。
• 制限されたトーリック多様体の反標準線分岐束がアンピールである、すなわちFanoであるための必要十分条件を提供すること。
• 制限されたトーリック多様体上の曲線のチャウ群を分析し、トーリック不変曲線の基底を提供すること。
• ルート系データを用いて、制限されたトーリック多様体の極値およびモーリーの射線を完全に記述すること。

提案手法

• アフィン直線 $\mathbb{A}^1$ 上の多様体の平坦な族を構成し、一般ファイバーがBSDH多様体に同型で、特異ファイバーが滑らかなトーリック多様体に同型となるようにする。
• 一意的パラメータ群 $\xi: \mathbb{G}_m \to T$ を用いて、共役作用を介して退化を定義し、ボレル部分群 $B$ 上の族の自己同型を誘導する。
• リーヴィ射影 $\phi_0: B \to T$ を用いて、極限構成を介して特異ファイバーをトーリック多様体として定義する。
• ラウイツェンとトムセンの定理を適用し、シューベルト曲線との交差数を用いて、BSDH多様体上の線分岐束のアンピール性を特徴付ける。
• 曲線類 $L_k(\mathbf{w})$ とルートペアリングデータ $d_{i_j}([k-1]\mathbf{w})$ の再帰的関係を用いて、トーリック極限上の曲線のチャウ群を記述する。
• すべてのトーリック不変曲線が基底要素の非負線形結合として表されるような、トーリック多様体上の曲線のチャウ群の基底を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン直線上で、一般ファイバーがBSDH多様体で、特異ファイバーがトーリック多様体であるような、滑らかな代数的退化を構成できるか？
• RQ2 制限されたトーリック多様体のアンピールコーンの構造は何か？また、元のBSDH多様体のアンピールコーンとはどのように関係するか？
• RQ3 制限されたトーリック多様体の反標準線分岐束がアンピールである、すなわちトーリック多様体がFanoであるための条件は何か？
• RQ4 制限されたトーリック多様体上の曲線のチャウ群はどのように記述できるか？また、すべてのトーリック不変曲線が非負結合として表されるような基底は何か？
• RQ5 制限されたトーリック多様体の極値およびモーリーの射線は、ルート系データを用いて完全に記述できるか？

主な発見

• 本稿は、$\mathbb{A}^1$ 上の平坦な族を構成し、一般ファイバーがBSDH多様体に同型で、特異ファイバーが滑らかなトーリック多様体に同型となるようにし、代数的退化を確立する。
• 制限されたトーリック多様体のアンピールコーンは、元のBSDH多様体のアンピールコーンの部分コーンとして記述され、交差理論から明確な包含写像が導出される。
• 制限されたトーリック多様体の反標準線分岐束がアンピールであるための必要十分条件が与えられる：すべての $k$ に対して、係数 $d_{i_j}([k-1]\mathbf{w})$ の和が正の条件を満たすことで、Fano性が保証される。
• すべてのトーリック不変曲線が非負線形結合として表されるような、制限されたトーリック多様体上の曲線のチャウ群の基底が構成され、明示的なアルゴリズムが提供されている（補題23および24）。
• 制限されたトーリック多様体の極値およびモーリーの射線は、特にペアリング $d_{i_j}([k-1]\mathbf{w})$ と曲線類展開における係数 $a_k$ を用いて、ルート系データを用いて完全に記述される。
• 本稿は、BSDH多様体上の線分岐束 $\mathcal{L}$ がアンピールであるための必要十分条件として、そのシューベルト曲線 $L_k(\mathbf{w})$ との交差数におけるすべての係数 $a_k$ が正であること、すなわち交差数によるアンピール性基準の確認を証明する。