[論文レビュー] Toric Fano varieties and birational morphisms

Cinzia Casagrande|ArXiv.org|Dec 1, 2001

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、原始的集合と原始的関係を用いて、滑らかなトーリックファノ多様体の構造定理を確立し、ファノ多様体とその不変除部分多様体のピカール数の差が3以下であることを証明する。次に、次元4における等変な双有理写像を分類し、ファノ多様体を源とするような4次元トーリック多様体間のすべての同型写像が滑らかなブ low-up の合成であることを示し、ピカール数の上限を導出し、次元5における最大ピカール数が9であることを証明する。

ABSTRACT

In this paper we study smooth toric Fano varieties using primitive relations and toric Mori theory. We show that for any irreducible invariant divisor D in a toric Fano variety X, we have $0\leqρ_X-ρ_D\leq 3$, for the difference of the Picard numbers of X and D. Moreover, if $ρ_X-ρ_D>0$ (with some additional hypotheses if $ρ_X-ρ_D=1$), we give an explicit birational description of X. Using this result, we show that when dim X=5, we have $ρ_X\leq 9$. In the second part of the paper, we study equivariant birational morphisms f whose source is Fano. We give some general results, and in dimension 4 we show that f is always a composite of smooth equivariant blow-ups. Finally, we study under which hypotheses a non-projective toric variety can become Fano after a smooth equivariant blow-up.

研究の動機と目的

• トーリックファノ多様体のファノの組合せ論的構造、特にそのファノの構造を原始的集合を用いて理解すること。
• ファノ多様体とその不変除部分多様体のピカール数の差に対する上限を特定すること。
• 源がファノであるような4次元トーリック多様体間の等変双有理写像を分類すること。
• 非特徴的トーリック多様体が滑らかな等変ブローアップを経てファノになる可能性があるかどうかを調査すること。
• トーリックファノ5-多様体の最大ピカール数を確立すること。

提案手法

• バチレフが導入した原始的集合と原始的関係の言語を用いて、トーリックファノ多様体のファノ構造を分析する。
• ファノの分割に関する組合せ的条件を用いて、等変双有理写像を研究する。
• スターブローアップの概念を用いて、4次元ファノの最大コーンの refinement を分析する。
• 4次元コーンの分割の可能性の分類を、4次元トーリック多様体のファノに属するものとして用い、因子分解定理を証明する。
• トーリックモーリー理論と1次サイクルの数的同値性の結果を応用して、ピカール数の上限を導出する。
• 次数1および2の原始的関係の振る舞いを分析し、分割されたファノにおける新しい生成子の可能な配置を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかなトーリックファノ5-多様体の最大ピカール数は何か？
• RQ2 非特徴的トーリック多様体が滑らかな等変ブローアップを経てファノになる条件は何か？
• RQ3 源がファノであるような4次元トーリック多様体間のすべての等変双有理写像は、滑らかな等変ブローアップの列に分解可能か？
• RQ4 ファノ多様体とその不変除部分多様体のピカール数の差が、多様体の幾何にどのような制約を与えるか？
• RQ5 ブローアップ後の4次元トーリックファノ多様体のファノにおいて、原始的集合と関係の可能な配置は何か？

主な発見

• 滑らかなトーリックファノ5-多様体の最大ピカール数は9であり、低次元での既知の上限を拡張する。
• 滑らかなトーリックファノ多様体 $X$ の任意の既約不変除部分多様体 $D \subset X$ に対して、差 $\rho_X - \rho_D$ は3以下である。
• $\rho_X - \rho_D = 3$ であるならば、$X$ は低次元のトーリックファノ多様体上への $S_3$-バンドルである。
• $1 \leq \rho_X - \rho_D \leq 2$ の場合、やや弱い仮定の下で $X$ の明示的な双有理的記述が与えられる。
• 源がファノであるような4次元トーリック多様体間のすべての等変双有理写像は、滑らかな等変ブローアップの合成である。これは因子分解定理を確認する。
• 非特徴的トーリック多様体 $Y$ が滑らかな等変ブローアップを経てファノになるのは、ブローアップの中心の次元が少なくとも3であり、かつ射影空間でない場合に限られる。最初の可能性のある例は次元6で現れる。