[論文レビュー] Toric manifolds for Flux compactification

Sujan P. Dabholkar|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、SU(3)-構造とトポロジカル制約を分析することにより、タイプIIA超弦理論におけるスカラー曲率が負のAdS₄フラックスコンパクト化において、滑らかでコンpakなトーリック多様体の使用を調査する。非自明な全純3形式とSU(3)-構造方程式における調整可能な torsion クラスが、新しいフラックス真空状態の構成を可能にし、特に第一チャーン類と最高チャーン類に関するトポロジカル条件が、実現可能な多様体に対する主要な制約を形成することを示している。

ABSTRACT

We study how to use smooth, compact toric varieties for supersymmetric $AdS_4$ flux compactifications using tools of SU(3) structures, similar to $CP3$ solution. A non-vanishing globally well defined complex 3-form plays a key role in such constructions. Necessary topological conditions associated with it will be understood to put constraints on large class of these manifolds for supersymmetric flux compactification. Local analysis of SU(3)-structure is carried out, which might help to explore more flux vacua.

研究の動機と目的

• トーリック多様体をCalabi-Yau超曲面にとどまらず、超弦理論におけるフラックスコンパクト化に応用することを拡張すること。
• 滑らかでコンパクトなトーリック多様体が超対称AdS₄フラックス真空状態を支持できるかどうかを制限するトポロジカル障害、特に第一チャーン類と最高チャーン類に関連するものを見つけること。
• SU(3)-構造の局所微分系を解析し、torsion クラスを調整する自由度を特定することで、新しいフラックス真空状態解を生成する可能性を評価すること。
• $\mathbb{CP}^3$ の構成（非可積分的 almost complex 構造を用いる）を、より広いクラスのトーリック多様体へ一般化すること。
• 同様の手法を用いて古典的dS真空状態を構築する可能性を検討するが、本稿の焦点はAdS₄解に限定されている。

提案手法

• モーメントマップの制約 $\sum_i Q^a_i |z^i|^2 = \xi^a$ を用いた、滑らかなトーリック多様体のシンプレクティック商構成法。
• 全空間に定義された非自明なスピン形式を用いたSU(3)-構造形式論法。実(1,1)形式 $J$ と複素(3,0)形式 $\Omega$ で記述され、$J \wedge \Omega = 0$ および $i\Omega \wedge \bar{\Omega} = \frac{4}{3}J^3 \neq 0$ を満たす。
• torsion クラスの微分方程式の解析：$dJ = \frac{3}{2} \text{Im}(\bar{W}_1 \Omega) + W_4 \wedge J + W_3$ および $d\Omega = W_1 J^2 + W_2 \wedge J + \bar{W}_5 \wedge \Omega$。ここで $W_i$ は torsion 形式である。
• 特に $c_1$ と最高チャーン類 $c_3$ を用いたチャーン類理論を適用し、全空間に定義された自明でない全純3形式の存在に関するグローバルなトポロジカル制約を導出する。
• SU(3)-構造系の局所解析により、torsion クラス $W_i$ がケースバイケースで調整可能であることを示し、特に $W_4$ が閉じている場合にその自由度が顕著になることを示す。
• ファンと格子データを用いたトーリック幾何学により、ベッチ数と除法類を計算し、組合せ論的データとコhomological不変量を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの滑らかでコンパクトなトーリック多様体が、フラックスコンパクト化におけるSU(3)-構造に必要な、全空間に定義された全純3形式を支持できるか？
• RQ2 SU(3)-構造コンパクト化において非自明な全純3形式を要請することによって生じるトポロジカル制約、特にチャーン類に関連するものとは何か？
• RQ3 SU(3)-構造方程式における torsion クラス $W_i$ は、どの程度調整可能であり、それがタイプIIA超重力理論における新しいフラックス真空状態を生成するか？
• RQ4 $\mathbb{CP}^3$ の構成（非可積分的 almost complex 構造を用いる）は、他のトーリック多様体へ一般化可能か？
• RQ5 AdS₄解の生成に成功した現在の枠組みを用いて、古典的dS真空状態を体系的に構築する方法はあるか？

主な発見

• 第一チャーン類 $c_1$ と最高チャーン類 $c_3$ は、滑らかなトーリック多様体上に全空間に定義された全純3形式が存在するかどうかを制約する重要なトポロジカル不変量である。
• $\mathbb{CP}^3$ の場合、特に第一チャーン類の消滅に起因する特定のトポロジカル性質のおかげで、非可積分的 almost complex 構造を用いたSU(3)-構造の構成が可能である。
• SU(3)-構造の局所微分系は、torsion クラスを調整可能であり、特に $W_4$ が閉じている場合には、$W_i$ パrameterを調整することで新しいフラックス真空状態を構成する可能性が生じる。
• 解析により、多くの滑らかでコンパクトなトーリック多様体が、非自明な $W_1$ および $W_2$ を持つSU(3)-構造を支持可能であることが示され、多様なフラックス真空状態の可能性が示唆される。
• 本手法は、将来的には古典的dS解を探索するための体系的フレームワークを提供するが、現在の結果はAdS₄真空状態に限定されている。
• 滑らかなトーリック多様体では奇数次ベッチ数が消え、偶数次ベッチ数は $\beta_{2k} = \sum_{i=k}^n (-1)^{i-k} \binom{i}{k} d_{n-i}$ で与えられる。ここで $d_k$ はファングラフにおける $k$ 次元の錐の数を数える。