[論文レビュー] Toric varieties - degenerations and fundamental groups

Meirav Amram, Shōetsu Ogata|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2003

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、4つの特別なトーリック曲面の分岐曲線の補集合の基本群を、退化法とブレードモノドロミー技法を用いて計算する。トーリック幾何と再生則を用いて、π₁(ℂℙ² \ B) をブレード群の商として明示的な表示で与える。主な結果として、ℬ₅/⟨Γ₄²Γ₃Γ₂Γ₁²Γ₂Γ₃⟩、ℬ₆/⟨Γ₃Γ₄Γ₅²Γ₄Γ₃Γ₂Γ₁²Γ₂⟩、ℬ₄/⟨Γ₂Γ₃²Γ₂Γ₁²⟩、および A₁ 特異点をもつ特異トーリック曲面に対して ℬ₆/⟨[X,Y]⟩ の商への同型が得られる。

ABSTRACT

In this paper we calculate fundamental groups (and some of their quotients) of complements of four toric varieties branch curves. For these calculations, we study properties and degenerations of these toric varieties and the braid monodromies of the branch curves in $\mathbb{CP}^2$. The fundamental groups related to the first three toric varieties turn to be quotients of the Artin braid groups $\mathcal{B}_5$, $\mathcal{B}_6$, and $\mathcal{B}_4$, while the fourth one is a certain quotient of the group $ ilde{\mathcal{B}}_6 = \mathcal{B}_6/$, where $X, Y$ are transversal. The quotients of all four groups by the normal subgroups generated by the squares of the standard generators are respectively $S_5, S_6, S_4$ and $S_6$. We therefore conclude that the fundamental groups of the Galois covers of the four given toric varieties are all trivial.

研究の動機と目的

• 特定のトーリック曲面からの一般射影写像の分岐曲線 B の補集合における基本群 π₁(ℂℙ² \ B) を計算すること。
• ヒルツェブルフ曲面 F₁, F₀, F₂ および A₁ 特異点をもつ特異トーリック曲面を含む、新たなトーリック多様体へのブレードモノドロミー技法の拡張すること。
• モイシゼンとティーチャーのスケーマティック退化図の幾何的解釈を、トーリック幾何を用いて提示すること。
• 退化配置の平面群にヴァン・カンペンの定理と再生則を適用することで、基本群の有限表示を得ること。

提案手法

• トーリック曲面 X を n 枚の平面の和 X₀ に退化させ、B₀ を交線の和とする。
• 参考文献[25]の再生則を用いて、B₀ からのブレードモノドロミー因子分解を B へと持ち上げる。
• ヴァン・カンペンの定理を適用し、2m 個の生成子 Γ₁, Γ₁′, ..., Γₘ, Γₘ′ をもつ π₁(ℂ² \ B) の有限表示を得る。
• π₁(ℂℙ² \ B) を得るために、射影的関係 Γₘ′⋯Γ₁′Γ₁⋯Γₘ = e を組み込む。
• ブレード群の関係と幾何的パスの選択を用いて、冗長な生成子を削除し、関係を単純化する。
• 特異曲面に対して、π₁(ℂℙ² \ B₄) が ℬ₆/⟨[X,Y]⟩ の商に同型であることを示し、X, Y は横断的半回転である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルツェブルフ曲面 F₁ を ℂℙ⁶ に s+3g で埋め込んだ場合、その一般射影写像の分岐曲線の補集合における基本群 π₁(ℂℙ² \ B) は何か？
• RQ2 F₀ を ℂℙ²ⁿ⁺¹ に 𝒪(1,n) で埋め込んだとき、ブレードモノドロミー因子分解と基本群はどのように変化するか？
• RQ3 A₁ 特異点をもつ特異トーリック曲面 X₄ を ℂℙ⁶ に埋め込んだ場合、π₁(ℂℙ² \ B) の構造は何か？
• RQ4 トーリック幾何の知見を用いて、退化と再生法を非滑らかトーリック曲面へ適応できるか？
• RQ5 基本群の関係は、退化配置の位相的・幾何的構造をどのように反映しているか？

主な発見

• π₁(ℂℙ² \ B₁) ≅ ℬ₅ / ⟨Γ₄²Γ₃Γ₂Γ₁²Γ₂Γ₃⟩ であり、B₁ は F₁ を ℂℙ⁶ に s+3g で埋め込んだ分岐曲線である。
• π₁(ℂℙ² \ B₂) ≅ ℬ₆ / ⟨Γ₃Γ₄Γ₅²Γ₄Γ₃Γ₂Γ₁²Γ₂⟩ であり、F₀ を ℂℙ⁷ に 𝒪(1,3) で埋め込み、一般化して ℂℙ²ⁿ⁺¹ に 𝒪(1,n) で埋め込んだ場合も成り立つ。
• π₁(ℂℙ² \ B₃) ≅ ℬ₄ / ⟨Γ₂Γ₃²Γ₂Γ₁²⟩ であり、F₂ を ℂℙ⁵ に s+3g で埋め込んだ場合である。
• π₁(ℂℙ² \ B₄) は、X と Y が横断的半回転である ℬ₆ / ⟨[X,Y]⟩ の商に同型である。これは A₁ 特異点をもつ特異トーリック曲面の場合である。
• 関係式 (87) は余分である。両辺とも Γ₂ に等しいため、Γ₂′ と Γ₆′ を削除でき、表示が単純化される。
• すべての Γⱼ² = e のとき、群 Π(B₄) は S₆ に同型である。これにより、残りの関係が対称群を定義するのに十分であることが確認される。