[論文レビュー] Toric Varieties vs. Horofunction Compactifications of Polyhedral Norms

Lizhen Ji, Anna-Sofie Schilling|arXiv (Cornell University)|May 22, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、次元 $n$ の射影的トーリック多様体と、有理的多面体ノルムを備えた $\r^n$ のホロフクノリスコンパクト化との間で、標準的で幾何的な 1 対 1 対応を確立する。トーリック多様体の非負部分とそのモーメント写像の像の両方が、ノルムの単位球の極多面体として実現されるホロフクノリスコンパクト化に位相的に同型である。

ABSTRACT

We establish a natural and geometric 1-1 correspondence between projective toric varieties of dimension $n$ and horofunction compactifications of $\mathbb{R}^n$ with respect to rational polyhedral norms. For this purpose, we explain a topological model of toric varieties. Consequently, toric varieties in algebraic geometry, normed spaces in convex analysis, and horofunction compactifications in metric geometry are directly and explicitly related.

研究の動機と目的

• 次元 $n$ の射影的トーリック多様体と、有理的多面体ノルムを備えた $\r^n$ のホロフクノリスコンパクト化との間の直接的で幾何的な対応を確立すること。
• トーリック多様体の非負部分とそのモーメント写像の像が、有理的多面体ノルムに関する $\r^n$ のホロフクノリスコンパクト化と位相的に同型であることを示すこと。
• この対応が標準的であり、単位球の有理的多面体ノルムに関連するファイブ構成から生じることを示すこと。
• 単位球の極多面体を用いてホロフクノリスコンパクト化の有界な実現を与えること。
• ボセマン、ホルムズ＝トムプソン、グロモフ、ベンソンの各ノルム誘導体積に基づく体積を用いて、トーリック多様体の数値的不変量を探索すること。

提案手法

• 原点を内部に含む $\r^n$ 内の有理的凸多面体 $P$ から、$P$ の各面を頂点とする錐をとることで、ファイブ $Σ_P$ を構成する。
• $Σ_P$ に射影的トーリック多様体 $X_{Σ_P}$ を対応させる。これは $P$ のスケーリングに対して定義される。
• $\r^n$ 上にノルム $|·|_P$ を定義し、その単位球を $P$ とする。これにより $\r^n$ 上の距離 $d_P$ が誘導される。
• $d_P$ に関する $\r^n$ のホロフクノリスコンパクト化 $¯{\r^n}^{hor}$ を用い、これが非負部分 $X_{Σ_P,\geq 0}$ およびモーメント写像の像と位相的に同型であることを示す。
• $P$ の極多面体 $P^\circ$ を用いて、ホロフクノリスコンパクト化を $P^\circ$ として実現し、有界なモデルを得る。
• 多面体 $P^\circ$ の面 $E$ に対して、$h_{E,\mathbf{x}_\infty}(\mathbf{z}) = |\mathbf{p} - \mathbf{y}|_E - |\mathbf{p}|_E$ の形のホロフアクションを用いる。ここで $|\cdot|_E$ は $E$ から導かれる擬ノルムである。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $n$ の射影的トーリック多様体と、有理的多面体ノルムを備えた $\r^n$ のホロフクノリスコンパクト化との間には、標準的で幾何的な対応が存在するか？
• RQ2 トーリック多様体の非負部分とそのモーメント写像の像は、有理的多面体ノルムに関する $\r^n$ のホロフクノリスコンパクト化と同一視できるか？
• RQ3 $\r^n$ の有理的多面体ノルムに関するホロフクノリスコンパクト化は、単位球の極多面体とどのように関係するか？
• RQ4 ノルム誘導体積（ボセマン、ホルムズ＝トムプソン、グロモフ、ベンソン）に基づく単位球の体積から、トーリック多様体のどのような数値的不変量が得られるか？
• RQ5 多面体 $P$ の内部におけるヒルベルト距離のホロフクノリスコンパクト化と、極多面体 $P^\circ$ に関連するトーリック多様体との間に、関係があるか？

主な発見

• 次元 $n$ の射影的トーリック多様体と、スケーリングを除いて有理的多面体ノルムを備えた $\r^n$ の間には、標準的で幾何的な 1 対 1 対応が存在する。
• $X_{Σ}$ の非負部分 $X_{Σ,\geq 0}$ は、対応する有理的多面体ノルムによって誘導される距離に関する $\r^n$ のホロフクノリスコンパクト化 $¯{\r^n}^{hor}$ と位相的に同型である。
• $X_{Σ}$ のモーメント写像の像も、同じノルムに関するホロフクノリスコンパクト化 $¯{\r^n}^{hor}$ と位相的に同型である。
• $\r^n$ の有理的多面体ノルム $|·|_P$ に関するホロフクノリスコンパクト化は、単位球 $P$ の極多面体 $P^\circ$ と位相的に同型である。
• 各射影的トーリック多様体 $X$ に対して、その関連する正規化された単位球 $P$ のボセマン、ホルムズ＝トムプソン、グロモフ、ベンソンのいずれの体積に対しても、標準的数値的不変量が得られる。
• ホロフクノリスコンパクト化は、関数 $d_P(\mathbf{z}, \mathbf{x}_j) - d_P(0, \mathbf{x}_j)$ の点별極限として実現され、これはコンパクト集合上で一様に、$P^\circ$ の面 $E$ に対応する $h_{E,\mathbf{x}_\infty}(\mathbf{z})$ に収束する。