[論文レビュー] Toroidal affine Nash groups

Mahir Bilen Can|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2015

Finite Group Theory Research参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、アフィンナッシュ群に対するローゼンリフトの構造定理の類似を確立し、抗アフィン代数群の類似としてトロイダルアフィンナッシュ群を導入する。任意のアフィンナッシュ群は、商がほとんど線形となるような最小の正規部分群をもつことが証明され、連結な群については、最大のトロイダル部分群と最大のほとんど線形正規部分群への分解が可能であり、トロイダル部分のほとんど線形成分とほとんど線形部分との間の交わりは有限指数をもつ。

ABSTRACT

A toroidal affine Nash group is the affine Nash group analogue of an anti-affine algebraic group. In this note, we prove analogues of Rosenlicht's structure and decomposition theorems: (1) Every affine Nash group $G$ has a smallest normal affine Nash subgroup $H$ such that $G/H$ is an almost linear affine Nash group, and this $H$ is toroidal. (2) If $G$ is a connected affine Nash group, then there exist a largest toroidal affine Nash subgroup $\ant{G}$ and a largest connected, normal, almost linear affine Nash subgroup $\aff{G}$. Moreover, we have $G=\ant{G}\aff{G}$, and $\ant{G}\cap \aff{G}$ contains $\aff{(\ant{G})}$ as an affine Nash subgroup of finite index.

研究の動機と目的

• アフィンナッシュ群の構造理論を、代数群に対するローゼンリフトの定理に類似した形で発展させること。
• 抗アフィン代数群のナッシュ的類似として、トロイダルアフィンナッシュ群を定義し、特徴づけること。
• 連結アフィンナッシュ群が最大のトロイダル部分群と最大のほとんど線形正規部分群への分解をもつことの確立。
• これらの部分群の交わりが、トロイダル部分のほとんど線形成分を有限指数部分群として含むことの証明。
• 代数化とグローバル関数論を用いて、チェヴァリエ型の分解結果をナッシュ圏へ一般化すること。

提案手法

• トロイダルアフィンナッシュ群を、非自明なほとんど線形商を持たない連結な抗線形アフィンナッシュ群、すなわち、ほとんど線形商が存在しない群として定義する。
• 代数化ファンクターを用いて、アフィンナッシュ群と実代数群との関係を確立し、ハルシュォフスキーとピレイの結果（アフィンナッシュ群は実代数群の有限被覆である）を活用する。
• アフィンナッシュ群に付随する代数群に対して、ローゼンリフトの定理（最小の正規部分群がアフィン商を持つこと）を適用する。
• 代数化の下で、代数群の抗アフィン部およびアフィン部の逆像として、最大のトロイダル部分群および最大のほとんど線形正規部分群を構成する。
• リー代数の比較と有限準同型を用いて、2つの部分群の交わりが、トロイダル部分のほとんど線形成分を有限指数部分群として含むことを示す。
• ナッシュ群が同時にアフィンかつ抗アフィンであるならば、自明でなければならないという事実を用いて、最小性および最大性の性質を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 抗アフィン代数群の正しいナッシュ群類似は何か、そしてどのように特徴づけられるか？
• RQ2 任意のアフィンナッシュ群は、商がほとんど線形となるような最小の正規部分群をもつか？
• RQ3 連結アフィンナッシュ群は、最大のトロイダル部分群と最大のほとんど線形正規部分群への分解が可能であり、交わりが制御可能か？
• RQ4 トロイダル部分群とほとんど線形部分群の交わりは、トロイダル部分のほとんど線形成分において有限指数をもつか？
• RQ5 代数群の構造定理は、代数化を用いてナッシュ圏へどのように一般化されるか？

主な発見

• 任意のアフィンナッシュ群 $G$ に対して、商 $G/H$ がほとんど線形となるような最小の正規アフィンナッシュ部分群 $H$ が存在し、$H$ はトロイダルである。
• 連結アフィンナッシュ群 $G$ に対して、最大のトロイダル部分群 $G_{\text{ant}}$ と最大の連結で正規なほとんど線形部分群 $G_{\text{aff}}$ が存在し、$G = G_{\text{ant}} G_{\text{aff}}$ が成り立つ。
• 交わり $G_{\text{ant}} \cap G_{\text{aff}}$ は、$(G_{\text{ant}})_{\text{aff}}$ をアフィンナッシュ部分群として有限指数で含む。
• 最大のほとんど線形部分群 $G_{\text{aff}}$ は、$G$ の唯一の極大連結ほとんど線形ナッシュ部分群であり、$G_{\text{ant}}$ は唯一の極大トロイダル部分群である。
• 分解 $G = G_{\text{ant}} G_{\text{aff}}$ は代数化と整合的であり、$G_{\text{ant}}$ と $G_{\text{aff}}$ のリー代数は $G$ のリー代数を生成する。
• トロイダル部分群のほとんど線形成分 $(G_{\text{ant}})_{\text{aff}}$ は、$G_{\text{ant}} \cap G_{\text{aff}}$ の有限指数部分群である。