[論文レビュー] Toroidal compactifications of integral models of Shimura varieties of Hodge type

Keerthi Madapusi Pera|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ホッジ型の志村多様体の整数的モデルに対するトーラル型および最小型のコンパクト化を構成し、問題をそれらの整数的モデル自体の理解に還元する。特異的レベルの素数においてこれらのコンパクト化の普遍性を確立し、p進均一化におけるホッジサイクルの新規な有理性性質を用いて、中心を除いて非可縮なムーディ・タイト群をもつアーベル多様体の良い還元に関するY. 森田の予想の新たな証明を与える。

ABSTRACT

We construct projective toroidal compactifications for integral models of Shimura varieties of Hodge type. We also construct integral models of the minimal (Satake-Baily-Borel) compactification. Our results essentially reduce the problem to understanding the integral models themselves. As such, they cover all previously known cases of PEL type, as well as all cases of Hodge type involving parahoric level structures. At primes where the level is hyperspecial, we show that our compactifications are canonical in a precise sense. We also provide a new proof of Y. Morita's conjecture on the everywhere good reduction of abelian varieties whose Mumford-Tate group is anisotropic modulo center. Along the way, we demonstrate an interesting rationality property of Hodge cycles on abelian varieties with respect to p-adic analytic uniformizations.

研究の動機と目的

• ホッジ型の志村多様体の整数的モデルに対するトーラル型および最小型（サタケ＝ベイリー＝ボーレル型）コンパクト化を構成すること。
• これらの整数的モデルのコンパクト化問題を、モデル自体の理解に還元することにより、これまでに知られていたすべてのPEL型のケースをカバーすること。
• レベル構造が特異的レベルである素数において、構成されたコンパクト化の普遍性を確立すること。
• ムーディ・タイト群が中心を除いて非可縮であるアーベル多様体の、至る所で良い還元に関するY. 森田の予想の新たな証明を与えること。
• p進解析的均一化に関して、アーベル多様体上のホッジサイクルの有理性性質を確立すること。

提案手法

• ホッジ型志村データ $(G,X)$ をシーゲル志村データ $(\operatorname{GSp}(V), \operatorname{S}^\pm(V))$ にシンプレクティック埋め込みすることにより、シーゲルモジュライ空間からの整数的モデルの持ち上げを実行する。
• 整数的モデル $\mathcal{S}_K$ を、一般巾 $\operatorname{Sh}_K(G,X)$ におけるシーゲル整数的モデル $\mathcal{S}_{{K}^{\dagger}}$ の正規化として構成する。
• 対数的ディエュドンネ理論およびp進解析的均一化を用いて、p進体上でのホッジサイクルとその有理性性質を分析する。
• 剛体的解析幾何およびp進指数写像を用いて、均一化空間の局所環における関数の対数の整域性および有界性を証明する。
• 正規化の有限性および基底環のノエター性を用いて、均一化空間上の特定の解析関数が局所環内の整数的元に持ち上がることを示す。
• 剛体的解析的空間間の有限写像の理論を適用し、関連関数の整閉包の有限性を導出し、したがってその関数の整域性を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホッジ型の志村多様体の整数的モデルに対して、トーラル型および最小型コンパクト化を構成できるか？
• RQ2 レベル構造が特異的レベルである素数において、構成されたコンパクト化は普遍的か？
• RQ3 p進均一化におけるホッジサイクルの有理性が、局所環における整域性または有界性を意味するか？
• RQ4 コンパクト化の構成を、整数的モデル自体の理解に還元できるか？
• RQ5 この新規な手法は、中心を除いて非可縮なムーディ・タイト群をもつアーベル多様体の良い還元に関する森田の予想の証明を提供するか？

主な発見

• 本稿は、ホッジ型の志村多様体の整数的モデルに対するトーラル型および最小型コンパクト化を構成し、問題を整数的モデル自体の理解に還元する。
• レベルが特異的レベルである素数において、構成されたコンパクト化は、シンプレクティック埋め込みの選択に依存しない明確な意味で普遍的である。
• ムーディ・タイト群が中心を除いて非可縮であるアーベル多様体の、至る所で良い還元に関するY. 森田の予想の新たな証明が与えられる。
• 興味深い有理性性質が確立された：p進均一化上の関数の対数が解析的であれば、その関数のあるべき乗が局所環の最大イデアルに属する。
• この構成は、これまでに知られていたすべてのPEL型のケースをカバーしており、GSpin群から生じる非PEL型のケースを含む、PEL設定を超えた理論への拡張を可能にする。
• この手法は、p進解析的技術、特にp進指数の収束性および剛体的解析幾何における正規化の有限性に依拠し、ホッジサイクルの整域性を証明する。