[論文レビュー] Toroidal normal forms for bifurcations in retarded functional differential equations II: Saddle-node/multiple Hopf interaction

Younsun Choi, Victor G. LeBlanc|ArXiv.org|Jul 4, 2005

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 14被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、鞍節点／多重ホップ分岐の相互作用を受ける平衡点の近傍における遅れ関数微分方程式（RFDE）の実現可能性問題を解くフレームワークを開発する。ファリアとマガリウスの正規形手順を、ノンセミシプルな状況（零化部分構造を有する）に適応することで、コンパクトなトーラスと非コンパクトな加法群を組み合わせた対称性群を導入し、従来のセミシプルな実現可能性結果の利用を可能にする。主な貢献は、この複雑な分岐状況における実現可能性問題の完全な解法であり、重複固有値にジョルダンブロックを含む一般化への応用に意義を持つ。

ABSTRACT

In this paper, we study the realizability problem for retarded functional differential equations near an equilibrium point undergoing a nonlinear mode interaction between a saddle-node bifurcation and a non-resonant multiple Hopf bifurcation. In contrast to the case of transcritical/multiple Hopf interaction which was studied in an earlier paper, the analysis here is complicated by the presence of a nilpotency which introduces a non-compact component in the symmetry group of the normal form. We present a framework to analyse the realizability problem in this non-semisimple case which exploits to a large extent our previous results for the realizability problem in the semisimple case. Apart from providing a solution to the problem of interest in this paper, it is believed that the approach used here could potentially be adapted to the study of the realizability problem for toroidal normal forms in the general case of repeated eigenvalues with Jordan blocks.

研究の動機と目的

• 鞍節点と非共鳴的多重ホップ分岐の相互作用を伴う分岐点近傍におけるスカラーRFDEの実現可能性問題に対処すること。
• 正規形に現れるノンセミシプル性（零化部分構造）が、従来のセミシプル状況とは異なり非コンパクト成分を含む対称性群を生じさせるという課題を克服すること。
• 非コンパクトな対称性を有するが、依然として既存のセミシプルな実現可能性結果を活用可能なフレームワークを構築すること。
• 完全な実現可能性に必要な独立した遅延の数が最適であることを保証する解法を提供すること。
• 重複固有値とジョルダンブロックを有する一般ケースへの実現可能性解析の拡張に基盤を築くこと。

提案手法

• スカラーRFDEにおける鞍節点／多重ホップ分岐の非セミシプル状況に、ファリアとマガリウスの正規形手順を適応すること。
• 鞍節点成分に由来する零化部分構造に起因し、コンパクトなトーラスと非コンパクトな加法群（Rに同型）の直積として得られる正規形の対称性群を特定すること。
• 正規形を径方向部と角方向部に分解し、展開パrameter ν と非線形項によって支配される径方向ダイナミクスの実現可能性に注目すること。
• 群 Γ₀ における射影作用素 Aˋracket を用いて、関数空間を不変部分空間へ分解し、線形作用素 L_B,ν の核と像の解析を可能にすること。
• 関数空間の直和分解 H^{2p+2+s}_ℓ(R^{2p+1}) = H^{2p+1+s}_ℓ(R^{2p+1}, T^p) ⊕ range L_B,ν を確立することで、従来のセミシプル実現可能性結果の適用を可能にすること。
• 補題 A.1 と時間平均の極限性質（補題 B.1 を通じて）を用いて、特定の項が消えることを示し、正規形における特定の項の消滅を厳密に証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 遅れ関数微分方程式が鞍節点／多重ホップ分岐の相互作用を経験する際の正規形の構造は何か？
• RQ2 鞍節点成分に零化項が存在する場合、正規形の対称性群にどのような影響を与えるか？
• RQ3 非セミシプル状況において、径方向正規形の実現可能性問題は、非コンパクトな対称性成分を有する場合でも解けるか？
• RQ4 従来のセミシプル状況における実現可能性結果は、この非コンパクトな設定にどの程度まで適応可能か？
• RQ5 この分岐状況において、完全な実現可能性に必要な独立遅延数は最適か？

主な発見

• 鞍節点／多重ホップ分岐の相互作用における正規形の対称性群は、コンパクトなトーラス T^p と非コンパクト群（Rに同型）の直積であり、鞍節点成分に由来する零化部分構造に起因する。
• 関数空間の分解 H^{2p+2+s}_ℓ(R^{2p+1}) = H^{2p+1+s}_ℓ(R^{2p+1}, T^p) ⊕ range L_B,ν が成立し、これにより従来のセミシプル実現可能性結果の適用が可能になる。
• 径方向ダイナミクスは、有限個の独立遅延を用いてRFDEで完全に実現可能であり、本フレームワークによりその数が最適であることが保証される。
• 時間平均化と線形作用素 L_B,ν の構造を用いて、正規形における g^x_0 や h^x などの特定項が消えることが厳密に証明される。
• 実現可能性問題の解法は最適であり、ファリアとマガリウス、ブアノとベラールの先行研究を拡張する。
• 本手法は、重複固有値にジョルダンブロックを有する場合のトーラス正規形の研究へ一般化可能である。