[論文レビュー] Torsion and nonmetricity in the stringy geometry

B. Sazdović|ArXiv.org|Apr 9, 2003

Geometric and Algebraic Topology参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、反対称場（B場）および希釈場（Φ）を有する曲がった時空を伝播するボソン的ストリングの幾何的枠組みを導入し、B場がねじれを、希釈場が非計量性を引き起こすことを示している。主な貢献は、平均外的曲率とその双対を等しくするC双対性関係の定式化であり、これはリーマン幾何学を越えた非リーマン的幾何学における「ストリング的C双対的表面」への最小曲面の一般化を実現する。

ABSTRACT

In the present article, we study the space-time geometry felt by probe bosonic string moving in antisymmetric and dilaton background fields. This space-time geometry we shall call the stringy geometry. In particular, the presence of the antisymmetric field leads to the space-time torsion, and the presence of the dilaton field leads to the space-time nonmetricity. We generalize the geometry of surfaces embedded in space-time to the case when torsion and nonmetricity are present. We define the mean extrinsic curvature for Minkowski signature and introduce the concept of mean torsion. Its orthogonal projection defines the dual mean extrinsic curvature. In this language, one field equation is just the equality of mean extrinsic curvature and dual mean extrinsic curvature, which we call self-duality relation. In the torsion and nonmetricity free case, the world-sheet is a minimal surface, specified by the requirement that mean extrinsic curvature vanishes. Generally, it is stringy self-dual (anti self-dual) surface. In the presence of the dilaton field, which breaks conformal invariance, the conformal factor which connects intrinsic and induced metrics, is determined as a function of the dilaton field itself. We also derive the integration measure for the space-time with stringy nonmetricity.

研究の動機と目的

• プローブとしてのボソン的ストリングがB場および希釈場の存在下で感じる時空の幾何的記述を構築すること。
• ねじれおよび非計量性を有する時空における表面幾何学を一般化し、特にワールドシートの運動に応用すること。
• C双対性の下で定義される新しい幾何的対象（平均外的曲率およびその双対）を定義すること。
• 平行移動を保存するようにする修正された統合測度を導出すること。
• ストリングの古典的運動と時空幾何学を統一し、ストリング的C双対的表面を場の運動方程式の解として特定すること。

提案手法

• 一般アフィン接続をクリストッフェル接続、ねじれ（ねじれ）項、非計量性項に分解する。
• 誘導されたワールドシート計量および接続を定義し、非計量性のための2種類の形を区別する。
• 直交射影による平均ねじれの方法で平均外的曲率（MEC）およびその双対（DMEC）を定義する。
• C双対性関係を確立：MEC = ±DMEC であり、ねじれおよび非計量性が消えると最小曲面条件に還元される。
• 希釈場の関数として、内挿計量と誘導計量の間の共形因子を導出する。
• 平行移動に対する不変性と部分積分との整合性を満たすように、非計量的時空のための新しい統合測度を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 反対称B場の存在が、ボソン的ストリングが感じる時空幾何学にどのように影響を与えるか？
• RQ2 希釈場が、時空の幾何学的構造に非計量性をどのように誘導するか？
• RQ3 非リーマン的時空におけるストリングワールドシートの場の運動方程式の幾何的意味は何か？
• RQ4 ねじれおよび非計量性が存在する場合、最小曲面の概念をどのように一般化できるか？
• RQ5 非計量性を有する時空のための適切な統合測度は何か？ これは平行移動と部分積分の整合性を保証する必要がある。

主な発見

• B場は時空のねじれを生成し、希釈場は非計量性を誘導する。その結果、リーマン幾何学とは異なる一般化されたストリング的幾何学が得られる。
• ストリングワールドシートの場の運動方程式は、C双対性条件 ${}^{\bullet}H^{i} = \pm {}^{\ast}H^{i}$ に還元され、これはストリング的C双対的表面を定義する。
• ねじれが存在しない場合、ワールドシートは ${}^{\star}H_{i} = 0$ を満たすストリング的最小曲面となる。非計量性が存在しない場合、C双対性条件を満たす。
• リーマン時空（ねじれおよび非計量性がゼロ）では、ワールドシートは $H^{i} = 0$ を満たす最小曲面である。
• 内挿計量と誘導計量の間の共形因子は希釈場によって決定され、共形不変性が破れる。
• 非計量的時空のための新しい統合測度が導出され、平行移動に対して不変であり、部分積分を可能にする。その明示的形は誘導計量フレームワークにおいて $\sqrt{-G_2} \, d^2\sigma$ である。