[論文レビュー] Torsion-Free Sheaves and Moduli of Generalized Spin Curves

Tyler J. Jarvis|ArXiv.org|Feb 21, 1995

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 9

ひとこと要約

本論文は、r=2 の場合のデリーニとコルナールバの研究を一般化し、torsion-free ファンクターを用いて、ℤ[1/r] 上での一般化されたスピン曲線（r-スピン曲線）のモジュライ空間の3つのコンパクト化を構成する。1つのコンパクト化は滑らかであることが証明され、もう1つは明示的なゴレンスタイン特異点を持つことが示され、代数幾何学および数理物理学における r-スピン構造の研究の基盤を提供する。

ABSTRACT

This article treats compactifications of the space of generalized spin curves. Generalized spin curves, or $r$-spin curves, are pairs $(X,L)$ with $X$ a smooth curve and $L$ a line bundle whose r-th tensor power is isomorphic to the canonical bundle of $X.$ These are a natural generalization of $2$-spin curves (algebraic curves with a theta-characteristic), which have been of interest recently, in part because of their applications to fermionic string theory. Three different compactifications over $\Bbb{Z}[1/r],$ all using torsion-free sheaves, are constructed. All three yield algebraic stacks, one of which is shown to have Gorenstein singularities that can be described explicitly, and one of which is smooth. All three compactifications generalize constructions of Deligne and Cornalba done for the case when $r=2.$

研究の動機と目的

• 2-スピン曲線のモジュライ空間のデリーニとコルナールバのコンパクト化を、より高い r-スピン曲線へ一般化すること。
• ℤ[1/r] 上で、torsion-free ファンクターを用いて一般化されたスピン曲線の代数的スタックコンパクト化を構成すること。
• torsion-free ファンクターを用いて構成されたコンパクト化されたモジュライ空間の特異点を分析すること、特にゴレンスタイン特異点および滑らかである場合を特定すること。
• canonical バンドルの r 乗根としての θ-特性の理論を、安定的かつ代数的設定においてより高い r 乗根へ拡張すること。
• フェルミオン的ストリング理論およびグロモフ＝ウィッテン理論への応用のための幾何的枠組みを提供すること。

提案手法

• ノードを持つ曲線における torsion-free ファンクターを用いて、r-スピン構造をパrametrize し、r=2 の場合のラインバンドルの一般化である。
• torsion-free ファンクターに対する異なる安定性条件を用いて、3つの異なるコンパクト化を構成する。
• 代数スタックおよびモジュライ理論の技術を適用して、コンパクト化が代数的かつ固有であることを保証する。
• 変形理論および局所的解析を用いて、モジュライスタックの特異点を研究する。
• r=2 の場合の既知の結果（デリーニ＝コルナールバ）を基盤として、任意の r へ一般化する。
• L^⊗r ≅ ω_X という条件を用いて r-スピン曲線を定義し、特異曲線へは torsion-free ファンクターを用いて拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数的構造を保ちつつ特異点を制御可能な方法で、r-スピン曲線のモジュライ空間をどのようにコンパクト化できるか。
• RQ2 torsion-free ファンクターを用いて構成されたコンパクト化されたモジュライスタックの幾何的性質（たとえば滑らかさやゴレンスタイン特異点）は何か。
• RQ3 提案された3つのコンパクト化は、r=2 の場合のデリーニ＝コルナールバの構成をどの程度一般化するか。
• RQ4 特異曲線上での r-スピン構造の安定化において、torsion-free ファンクターの役割は何か。
• RQ5 torsion-free ファンクターを用いて、r-スピン曲線のモジュライ空間の滑らかなコンパクト化を達成できるか。

主な発見

• ℤ[1/r] 上で、torsion-free ファンクターを用いて、r-スピン曲線のモジュライ空間の3つの異なるコンパクト化が代数的スタックとして構成された。
• そのうちの1つのコンパクト化が滑らかであることが示され、r-スピン曲線の新しい滑らかなモジュライ空間が得られた。
• もう1つのコンパクト化は、局所方程式を明示的に記述できるゴレンスタイン特異点を持つ。
• デリーニとコルナールバによる 2-スピン曲線の研究が、任意の r ≥ 2 へ一般化された。
• torsion-free ファンクターの使用により、曲線が特異であっても安定的かつ代数的コンパクト化が可能となった。
• モジュライスタックが固有的かつ代数的であり、明確に定義された幾何的およびスタック論的性質を持つことが示された。