[論文レビュー] Torsion in the cohomology of torus orbifolds

Hideya Kuwata, Mikiya Masuda+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 11, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、n次元コンpakトトーラスのハミルトニアン作用を持つ2n次元の orbifold であるトーラス orbifold の整数コホモロジーにおける torsion を、綺麗なコーナー付き多様体上の特徴関数の役割を分析することによって調査する。p- torsion が存在しないための必要条件は、特定の整数 μ(Q_I) が p と互いに素であることである。この条件は、軌道空間の face poset が n-単体、錐体、または (n−1)-単体の懸垂と同型である場合には十分条件でもあるが、一般には十分でないことを示す反例を提示する。

ABSTRACT

We study torsion in the integral cohomology of a certain family of $2n$-dimensional orbifolds $X$ with actions of the $n$-dimensional compact torus. Compact simplicial toric varieties are in our family. For a prime number $p$, we find a necessary condition for the integral cohomology of $X$ to have no $p$-torsion. Then we prove that the necessary condition is sufficient in some cases. We also give an example of $X$ which shows that the necessary condition is not sufficient in general.

研究の動機と目的

• トーラス orbifold の整数コホモロジーに torsion、特に素数 p に対する p- torsion が含まれる条件を理解すること。
• コンパクトな単体的トーリック多様体に関する結果を、綺麗なコーナー付き多様体上での特徴関数によって定義されるより広いクラスの orbifold に一般化すること。
• 軌道空間と特徴関数に課される条件を同定し、コホモロジーにおける p- torsion の存在を回避すること。
• すべての face Q_I に対して μ(Q_I) が p と互いに素であるという p- torsion が存在しないための必要条件が、一般に十分条件であるかどうかを検証し、十分でない場合には反例を構成すること。

提案手法

• Q が綺麗なコーナー付き多様体で、v が facet に原始的ベクトルを割り当てる特徴関数であるとき、商構成 X(Q,v) = (Q × T)/∼ を用いる。
• スペクトル系列の技法と特異集合の近傍の削除によるコホモロジー計算を用い、X のコホモロジーを滑らかな多様体のコホモロジーと関連付ける。
• Q の各 face Q_I に対して、特徴関数 v から導かれる整数 μ(Q_I) を導入し、torsion の局所的コホモロジー的障害を測る。
• ペア (X, Y) および (Y, Y_+) のコホモロジーの完全系列を用いて、k ≤ 3 に対して H^k(X) の torsion を分析する。
• 特に Fischli と Jordan の研究に基づく、コンパクトな単体的トーリック多様体における H^{2n−1}(X) および Tor H^{2n−2}(X) の既知の計算と結果を比較する。
• 連結和や懸垂を用いた具体的な例の構成により、必要条件が一般には十分でないことが示される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素数 p に対して、トーラス orbifold X(Q,v) の整数コホモロジーに p- torsion が存在しない条件は何か？
• RQ2 すべての face Q_I に対して μ(Q_I) が p と互いに素であるという必要条件が、H^*(X) における p- torsion の存在を回避するための十分条件であるか？
• RQ3 すべての μ(Q_I) が p と互いに素であるにもかかわらず、H^3(X) ≅ ℤ/d (d ≥ 2) となるようなトーラス orbifold を構成できるか。これにより、必要条件が十分でないことが示される。
• RQ4 Q の face poset 構造と特徴関数 v が、H^*(X) の torsion 構造にどのように寄与するか？

主な発見

• H^*(X) に p- torsion が存在しないための必要条件は、軌道空間 Q のすべての face Q_I に対して μ(Q_I) が p と互いに素であることである。
• この必要条件は、Q の face poset が n-単体 Δ^n、錐体 Δ^{n−1}×[−1,1]、または (n−1)-単体の懸垂 ⋄^n と同型である場合には十分条件でもある。
• すべての μ(Q_I) が p と互いに素であるが、H^3(X) ≅ ℤ/d (d ≥ 2) となる明示的な反例が構成され、p- torsion が存在することを示している。よって、一般にはこの条件は十分でない。
• コンパクトな単体的トーリック多様体において、既知の計算と一致する：H^{2n−1}(X) ≅ N/ĤN および Tor H^{2n−2}(X) ≅ ∧²N/(ĤN ∧ N) である。ここで ĤN は原始的ベクトルの和の像である。
• 反例の構成には、懸垂と基本群が非自明な整数ホモロジー球面との連結和を用い、結果として simply-connected でない軌道空間に torsion を持つコホモロジーが得られる。
• 本論文は、軌道空間 Q が ℤ/pℤ 上で可縮であっても、特徴関数 v が必要条件を満たしていても、X(Q,v) のコホモロジーに torsion が存在しうることを確認している。