[論文レビュー] Torsion points of abelian varieties in abelian extensions

Wolfgang M. Ruppert|ArXiv.org|Mar 13, 1998

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本論文は、数体 K 上に定義されたアーベル多様体 A について、その最大アーベル拡大 Kab 上に有理化された捩れ点の有限性に関する基準を確立する。A が K 上に複素乗法（CM）をもつ部分多様体を含まないとき、かつそのときに限り、このような捩れ点は有限であると証明する。この結果により、サイクロトミック拡大体上での捩れ点の有限性に関するリービットの定理の新たな証明が得られ、複素乗法理論を通じてアーベル拡大における捩れ構造の理解が深められる。

ABSTRACT

Let A be an abelian variety defined over a number field K and let Kab be the maximal abelian extension of K. We show that there only finitely many torsion points of A which are defined over Kab iff A has no abelian subvariety with complex multiplication over K. We use this to give another proof of Ribet's result that A has only finitely many torsion points which are defined over the cyclotomic extension of K.

研究の動機と目的

• 数体 K 上に定義されたアーベル多様体 A の、最大アーベル拡大 Kab 上に有理化された捩れ点の集合が有限であるための条件を特定すること。
• アーベル拡大における捩れ点の構造において、複素乗法が果たす役割を明確にすること。
• サイクロトミック拡大体上での捩れ点の有限性に関するリービットの定理の別証明を提供すること。
• 幾何的・算術的条件、特に CM 部分多様体の存在または非存在が、アーベル拡大における捩れ点の有限性を規定する仕組みを同定すること。
• 複素乗法およびガロア表現の観点から、非アーベル拡大およびアーベル拡大における捩れ点の理解を拡張すること。

提案手法

• 証明は、アーベル多様体 A の捩れ点に作用する絶対ガロア群の作用を解析するガロア理論的技法を用いる。
• 特に、CM アーベル多様体の自己準同型環の構造に関する複素乗法の理論の結果を応用する。
• A が K 上に CM を持つ部分多様体を含むならば、その捩れ点に作用するガロア群の作用は、Kab 上で無限個の捩れ点が存在できるように制約されることに依拠する。
• 逆に、そのような CM 部分多様体が存在しない場合、捩れ点上のガロア表現は十分に大きく、Kab 上での無限積み上げを防ぐ。
• 最大アーベル拡大 Kab の構造を用いて、捩れ点の分解型およびガロア軌道を解析する。
• 問題をガロア表現の像に関する問いに還元し、類体論を用いて捩れ点によって生成される体を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数体 K 上に定義されたアーベル多様体 A について、その最大アーベル拡大 Kab 上に有理化された捩れ点の集合が有限であるための条件は何か？
• RQ2 A が K 上に CM を持つ部分多様体を含むと、アーベル拡大における捩れ点の分布にどのように影響するか？
• RQ3 複素乗法を用いた幾何的基準を用いて、サイクロトミック拡大体上での捩れ点の有限性に関するリービットの結果を再証明できるか？
• RQ4 CM 部分多様体の存在と、アーベル拡大における捩れ点の密度との間の正確な関係は何か？
• RQ5 CM 部分多様体が存在しないと、Kab 上のすべての捩れ点が有限であることを保証する程度はどの程度か？

主な発見

• A が Kab 上に有理化された捩れ点の集合は、A が K 上に複素乗法（CM）をもつ部分多様体を含まないとき、かつそのときに限り有限である。
• 本論文は、リービットの定理（サイクロトミック拡大体上での A の捩れ点が有限である）の新たな証明を提供する。
• K 上に CM を持つ部分多様体が存在するならば、A は Kab 上で無限個の捩れ点を持つ。
• CM 部分多様体が存在しないと、捩れ点上のガロア作用は十分に大きく、Kab 上での無限積み上げを防ぐ。
• この結果により、アーベル拡大における捩れ点の有限性について、部分多様体の CM 性質に基づくきわめて明確な二分法が確立される。
• 証明は、ガロア表現および類体論の深い結果に依拠しており、A の算術的性質と幾何的構造との間の関係を結ぶ。