[論文レビュー] Torsion points on curves and common divisors of a^k-1 and b^k-1

Nir Ailon, Zeév Rudnick|ArXiv.org|Feb 12, 2002

Algebraic Geometry and Number Theory被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、整数および多項式における $a^k - 1$ と $b^k - 1$ の最大公約数（GCD）を調査し、多項式の場合には曲線上のねじれ点の有限性に関するランの定理を用いて強い有界性結果を証明する。行列への拡張では、固有値の乗法的独立性のもとで、$A^k - I$ の各成分の GCD が固定多項式で有界であることを示し、原始的条件のもとで無限回 1 であることを示す。

ABSTRACT

We study the behavior of the greatest common divisor of a^k-1 and b^k-1, where a,b are fixed integers or polynomials, and k varies. In the integer case, we conjecture that when a and b are multiplicatively independent and in addition a-1 and b-1 are coprime, then a^k-1 and b^k-1 are coprime infinitely often. In the polynomial case, we prove a strong version of this conjecture. To do this we use a result of Lang's on the finiteness of torsion points on algebraic curves. We also give a matrix analogue of these results, where for a unimodular matrix A, we look at the greatest common divisor of the elements of the matrix A^k-I.

研究の動機と目的

• 固定された整数 $a, b$ に対して、$k$ を変化させたときの $\gcd(a^k - 1, b^k - 1)$ の挙動、特に GCD が小さい場合を理解すること。
• 乗法的独立な整数 $a, b$ で $\gcd(a-1, b-1) = 1$ を満たす場合に、$\gcd(a^k - 1, b^k - 1) = 1$ が無限回成立するかどうかの予想を立てること。
• 関数体の設定において、この予想の強い形を証明すること。ここで $a$ と $b$ は非定数多項式に置き換えられる。
• 行列への一般化を検討し、整数または多項式行列 $A$ に対して $\gcd(A^k - I)$ を分析し、固有値の乗法的独立性のもとで原始的であることが無限回成立するかどうかの予想を立てる。
• 特にサイクロトミック体における乗法的写像を用いた代数的数論的手法により、行列の類似枠組みを拡張すること。

提案手法

• 複素数乗法群 $\mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^*$ 内の既約代数的曲線に沿ったねじれ点の有限性に関するランの定理を用い、固有値の比における単位根の共通性を制限する。
• 多項式 $f, g$ に対して $\gcd(f^k - 1, g^k - 1)$ を有界化する問題を、固有値によってパrameter化された曲線と単位根との交点に還元する。
• リーマン面およびメラモーフィック関数の理論を用い、特に極と零点に注目して行列 $A$ の $A^k - I$ の成分の付値を分析する。
• ジョルダン標準形と共役変換を用い、固有値の挙動に起因する GCD 構造が解析可能になるように行列 $A$ を変形する。
• 変換行列および固有値関数の極の有限集合を解析することにより、$\gcd(A^k - I)$ を割る可能性がある線形形式 $t - s$ は有限個に限られることを証明する。
• リーマン面上のメラモーフィック関数の次数の上限を用いて、各点 $t_0$ における $v_{t_0}(\gcd(A^k - I))$ の有界性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 乗法的独立な整数 $a, b$ で $\gcd(a-1, b-1) = 1$ を満たすとき、$\gcd(a^k - 1, b^k - 1) = 1$ が無限回成立する条件は何か？
• RQ2 非定数多項式 $f, g$ に対して、$\gcd(f^k - 1, g^k - 1)$ は $k$ に依存しない固定された多項式で有界になるか？
• RQ3 行列 $A$ の固有値にどのような条件を課すと、すべての $k$ に対して $\gcd(A^k - I) = 1$ となるか（ただし有限個の例外を除く）？
• RQ4 代数幾何学的手法を用いて、スカラー関数から行列値関数への GCD 有界性結果を一般化することは可能か？
• RQ5 行列 $A$ が乗法的独立な固有値を持つとき、$A^k$ が無限回原始的（primitive）であるとは限らないか？

主な発見

• 非定数多項式 $f, g$ が乗法的独立であるとき、すべての $k$ に対して $\gcd(f^k - 1, g^k - 1)$ は固定多項式 $h$ で割り切れる。これは強い一様有界性を示す。
• さらに $\gcd(f-1, g-1) = 1$ であれば、$\gcd(f^k - 1, g^k - 1) = 1$ は、有限個の真部分群の算術的等差数列の和集合を除き、すべての $k$ で成立する。
• 体 $\mathbb{C}(t)$ 上の非特異行列 $A$ で、固有値が乗法的独立、または $\overline{\mathbb{C}(t)}$ 上で対角化不可能である場合、すべての $k$ に対して $\gcd(A^k - I)$ は固定多項式 $h$ で割り切れる。
• 行列 $A$ が原始的（すなわち $\gcd(A - I) = 1$）であれば、$A^k$ は有限個の真部分群の算術的等差数列を除き、すべての $k$ で原始的である。
• $\mathbb{Q}(\zeta_p)$ の非実単元 $u$ に対して、行列 $A(u) \in SL_{p-1}(\mathbb{Z})$ は、すべての $k \not\equiv 0 \pmod{p}$ に対して $\gcd(A(u)^k - I) = 1$ を満たす。これはこの場合における予想 B の証明である。
• リーマン面上のメラモーフィック関数の有限次数性により、任意の点 $t_0$ における $\gcd(A^k - I)$ の零点の重複度はすべての $k$ に対して一様に有界である。