[論文レビュー] Torus fixed points of moduli spaces of stable bundles of rank three

Thorsten Weist|ArXiv.org|Mar 4, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、トーラス固定点を用いて、射影平面上のランク3の安定ベクトル束のモジュライ空間のオイラー乗数の母関数を計算する。クイバー表現と安定性条件を用い、固定点をチャーン類およびディスcriminantで分類し、モジュライ空間が射影直線であることを示す。主な結果は、部分空間およびフィルトレーションの組合せ的配置に基づいて導かれる明示的な係数を持つ閉形式のオイラー乗数の母関数である。

ABSTRACT

By a result of Klyachko the Euler characteristic of moduli spaces of stable bundles of rank two on the projective plane is determined. Using similar methods we extend this result to bundles of rank three. The fixed point components correspond to moduli spaces of the subspace quiver. Moreover, the stability condition is given by a certain system of linear inequalities so that the generating function of the Euler characteristic can be determined explicitly.

研究の動機と目的

• ランク2からランク3のベクトル束へのモジュライ空間のオイラー乗数の計算を拡張すること。
• 3次元ベクトル空間のフィルトレーションを用いて、ランク3の安定束のモジュライ空間におけるトーラス固定点を分類すること。
• 部分空間クイバーと安定性条件を用いて、半安定および安定表現のモジュライ空間の構造を特定すること。
• 部分空間の組合せ的配置およびチャーン類に基づいて、これらのモジュライ空間のオイラー乗数の母関数を導出すること。
• 半安定表現のモジュライ空間が射影直線に同型であり、固定点成分が有限かつ計算可能であることを示すこと。

提案手法

• ランク3のトーリックバンドルを3次元ベクトル空間のフィルトレーションとしてモデル化し、部分空間クイバーの表現と解釈する。
• 次元ベクトル上の勾配関数を用いた安定性条件を適用し、線形不等式系に還元する。
• オイラー形式およびGIT商構成を用いて、半安定および安定表現のモジュライ空間を定義する。
• 与えられた1次元部分空間を含む2次元部分空間の数を分析することで、固定点を分類し、2番目のチャーン類およびディスクリミナントを決定する。
• 次元ベクトルにおける非ゼロ成分の配置の和として生成関数 F(x) を計算し、包含タイプの補正を加える。
• 異なる包含パターンからの寄与を記述するため、D(k)、D¹(k)、D²(k)、D³(k) の明示的公式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 P² 上のランク3安定束のモジュライ空間におけるトーラス固定点は、トーラス作用の下でどのように分解されるか？
• RQ2 ランク3バンドルの部分空間クイバーの半安定表現のモジュライ空間の構造は何か？
• RQ3 フィルトレーション内の部分空間の異なる配置において、2番目のチャーン類はどのように変化するか？
• RQ4 P² 上のランク3安定束のモジュライ空間のオイラー乗数の母関数は何か？
• RQ5 ポリ安定点と安定点がどのような条件下で生じるか、そしてそれらがオイラー乗数にどのように寄与するか？

主な発見

• ランク3バンドルの部分空間クイバーの半安定表現のモジュライ空間は、射影直線 P¹ に同型である。
• P² 上のランク3安定束のディスクリミナントは、0または6を法として4である。
• ディスクリミナントが0の場合はポリ安定点が存在し、その数は部分空間クイバーのアーム長にのみ依存する。
• ディスクリミナントが6を法として4の場合は、唯一安定点が存在し、モジュライ空間は2点を除いたP¹である。
• オイラー乗数の母関数 F(x) は、D(k)、D¹(k)、D²(k)、D³(k) を含む14項の和として明示的に計算され、包含タイプの組合せ的型からの係数が得られる。
• F(x) の級数展開における最初の非ゼロ項は −x⁻¹⁸ であり、その後に −6x⁻³⁰、−3x⁻⁴²、−12x⁻⁴⁸ が続く。高次の項は複雑性と成長が増加する。