[論文レビュー] Torus invariant transverse Kähler foliations

Hiroaki Ishida|arXiv (Cornell University)|May 22, 2015

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、コンパクトな複素多様体に最大のトーラス作用を持つとき、トーラス不変な横断的ケーラー葉層のモーメント写像像の凸性を確立し、そのような葉層が横断的ケーラーであるための必要十分条件として、基になる多様体がLVM多様体であることであることを証明する。主たる貢献は、Cupit-FoutouとZaffranの予想を解き、LVMB多様体が横断的ケーラー葉層をもつのは、それがLVM多様体である場合に限ることを示すことにある。

ABSTRACT

In this paper, we show the convexity of the image of a moment map on a transverse symplectic manifold equipped with a torus action under a certain condition. We also study properties of moment maps in the case of transverse Kähler manifolds. As an application, we give a positive answer to the conjecture posed by Cupit-Foutou and Zaffran.

研究の動機と目的

• トーラス作用を伴う横断的ケーラー葉層を備えたLVMB多様体とLVM多様体の同値性に関するCupit-FoutouとZaffranの予想を解くこと。
• コンパクト複素多様体にトーラス作用を施した場合の横断的ケーラー葉層におけるモーメント写像の存在および凸性を確立すること。
• モーメント写像幾何と多面体的ファンを用いて、トーラス作用によって誘導される正則葉層が横断的ケーラーである条件を特徴づけること。
• アティヤ＝ギレミン＝シュテルンバーグの凸性定理を、トーラス作用を伴う葉層多様体における横断的シンプレクティックおよびケーラー形式の設定に一般化すること。

提案手法

• トーラス作用を伴う葉層多様体における横断的シンプレクティックおよびケーラー形式に対するアティヤ＝ギレミン＝シュテルンバーグの凸性定理を適応すること。
• 商空間 M = X(Δ_Σ)/H に対して、上昇したモーメント写像 Φ̃: M → (g/g_J)* を構成し、その像が凸多面体であることを示すこと。
• アーベント空間 X(Δ_Σ) 上のモーメント写像 Φ を用い、双対写像 i* を介して (i*∘Φ)^{-1}(β) におけるレベル集合上で横断的モーメント写像を制限すること。
• g/g_J における完全ファン q(Δ) の理論を用い、葉層の幾何とモーメント写像像の多面体性の関係を結ぶこと。
• 葉層 F_g_J の横断的ケーラー性とファン q(Δ) の多面体性との間の同値性を確立すること。
• 等変正則主バンドルを用いて、商空間間での横断的ケーラー構造およびモーメント写像の性質を移すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト複素多様体にトーラス作用を施したとき、葉層 F_g_J における横断的ケーラー形式のモーメント写像が存在する条件は何か？
• RQ2 トーラス作用を伴う横断的ケーラー葉層におけるモーメント写像の像は常に凸か？
• RQ3 LVMB多様体上の葉層 F_g_J が横断的ケーラーであるならば、その多様体はLVM多様体であると結論づけられるか？
• RQ4 関連するファン q(Δ) の組合せ論的性質を用いて、モーメント写像像の凸性を特徴づけられるか？
• RQ5 モーメント写像幾何を用いて、横断的ケーラー葉層をもつLVMB多様体を完全に特徴づけられるか？

主な発見

• 上昇したモーメント写像 Φ̃: M → (g/g_J)* の像が凸多面体であることは、葉層 F_g_J が横断的ケーラーであるための必要十分条件である。
• 任意の G-不変な横断的ケーラー形式に対して、M におけるモーメント写像 Φ: M → g* が存在することは、葉層 F_g_J が横断的ケーラーであるための必要十分条件である。
• LVMB多様体 X(Δ_Σ)/H 上の葉層 F_g_J が横断的ケーラーであることは、ファン q(Δ) が多面体的であるための必要十分条件である。
• Cupit-FoutouとZaffranの予想が確認された：LVMB多様体は、その標準的葉層 F_g_J が横断的ケーラーであるとき、かつそのときに限りLVM多様体である。
• Φ̃ による M のモーメント写像像は、ファン q(Δ) の内法線多面体に一致し、幾何と組合せ論の直接的な関係を確立する。
• モーメント写像の構成とその凸性は、非ケーラー多様体における横断的ケーラー葉層の設定に、古典的なアティヤ＝ギレミン＝シュテルンバーグの定理を拡張する。