[論文レビュー] Total [1,2]-domination in graphs

Xuezheng Lv, Baoyindureng Wu|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿はグラフにおける全般的[1,2]-ドミネーションを導入し、分析する。全般的[1,2]-集合とは、各頂点がSに1つ以上2つの隣接頂点を持つような部分集合Sである。グラフの位数と最小次数を用いて、全般的[1,2]-ドミネーション数γt[1,2](G)の鋭い上界を確立し、その上界に達する極値グラフを特徴づける。主な貢献は、全般的[1,2]-集合を持たないグラフの完全な特徴づけ、およびγt[1,2](G)がγ[1,2](G)およびγ(G)に等しくなる条件の同定である。

ABSTRACT

A subset $S\subseteq V$ in a graph $G=(V,E)$ is a total $[1,2]$-set if, for every vertex $v\in V$, $1\leq |N(v)\cap S|\leq 2$. The minimum cardinality of a total $[1,2]$-set of $G$ is called the total $[1,2]$-domination number, denoted by $γ_{t[1,2]}(G)$. We establish two sharp upper bounds on the total [1,2]-domination number of a graph $G$ in terms of its order and minimum degree, and characterize the corresponding extremal graphs achieving these bounds. Moreover, we give some sufficient conditions for a graph without total $[1,2]$-set and for a graph with the same total $[1,2]$-domination number, $[1,2]$-domination number and domination number.

研究の動機と目的

• . グラフの位数と最小次数を用いて、全般的[1,2]-ドミネーション数γt[1,2](G)の鋭い上界を確立する。
• . これらの上界に達する極値グラフを特徴づける。
• . グラフが全般的[1,2]-集合を持たないための十分条件を特定する。
• . γt[1,2](G) = γ[1,2](G) = γ(G) となる条件を特定する。

提案手法

• . 領域、プライベート領域、誘導部分グラフのグラフ理論的定義および性質を用いる。
• . k-コロナおよびダブルk-コロナを含む極値グラフ構成を用いて境界を導出する。
• . 矛盾と構造的解析を適用し、P4-自由グラフにおいて特定の部分グラフが孤立頂点または小さなパスでなければならないことを証明する。
• . プライベート領域の概念を用いて、全般的[1,2]-集合における頂点の寄与を分析する。
• . [1,2]-ファクターおよび正則グラフに関する既知の結果を活用し、仮説を提示する。
• . 誘導部分グラフにおける成分構造のケース解析を実施し、最小性および最適性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . nおよびδ(G)を用いて、γt[1,2](G)の鋭い上界は何か？
• RQ2 . どのグラフがこれらの上界に達するのか。その構造的性質は何か？
• RQ3 . どのような条件下でグラフが全般的[1,2]-集合を持たず、γt[1,2](G) = +∞ となるか？
• RQ4 . どのような条件下でγt[1,2](G)がγ[1,2](G)およびγ(G)に等しくなるか？

主な発見

• . 任意の位数n、最小次数δ(G) ≥1のグラフGに対して、全般的[1,2]-ドミネーション数はγt[1,2](G) ≤ n/2 + 1を満たし、等号成立はGがn ≡ 2 (mod 4)を満たすCnと同型である場合に限る。
• . 最小次数δ(G) ≥2のグラフに対しては、上界がγt[1,2](G) ≤ 4n/5に改善され、これはG = H ◦2P2（Hは位数が2以上の連結グラフ）に対して鋭い。
• . 木や4-正則グラフを含む無限個のグラフ族が、全般的[1,2]-集合を持たず、γt[1,2](G) = +∞となる。
• . グラフGがγt[1,2](G) = γ[1,2](G) = γ(G)を満たすのは、Gが三角形と孤立頂点の disjoint 併合である場合に限る。
• . 本稿は、十分大きなnに対して、k-正則二部グラフG(n; k, n−k)がγt[1,2](G) = +∞であることを証明し、このようなグラフが全般的[1,2]-集合を持たないことを示している。
• . 本稿は、3-正則および4-正則グラフにおいて、追加の構造的制約を満たす[1,2]-ファクターの存在に関する仮説を提示し、それを裏付ける。