[論文レビュー] Total Cofibres of Diagrams of Spectra

Thomas Huettemann|ArXiv.org|Aug 22, 2005

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、順序集合に添付されたスペクトルの図式の全余核構成を導入し、その定義を部分順序集合上のホモトピー同型コロイドの包含写像のホモトピー余コロイドとして行う。順序集合の対が安定コホモトピーに関してある条件を満たすとき、ホモトピー極限と全余核への写像スペクトルの間に安定同値が成立し、これは層コホモロジーのスペクトル系列を一般化し、Bousfield-Kan手法を用いてスペクトルおよび位相空間へと結果を拡張する。

ABSTRACT

If Y is a diagram of spectra indexed by an arbitrary poset C together with a specified sub-poset D, we define the total cofibre Γ(Y) of Y as the strict cofibre of the map from hocolim_D (Y) to hocolim_C (Y). We construct a comparison map from the homotopy limit of Y to a looping of a fibrant replacement of Gamma (Y), and characterise those poset pairs (C,D) for which this comparison map is a stable equivalence. The characterisation is given in terms of stable cohomotopy of spaces related to C and D. For example, if C is a finite polytopal complex with underlying space an m-ball with boundary sphere D, then holim_C (Y) and Γ(Y) agree up to m-fold looping and up to stable equivalence. As an application of the general result we give a spectral sequence for the homotopy groups of Γ(Y) with E_2-term involving higher derived inverse limits of π_* (Y), generalising earlier constructions for space-valued diagrams indexed by the face lattice of a polytope.

研究の動機と目的

• 順序集合の対 $\mathcal{D} \subset \mathcal{C}$ に添付されたスペクトル図式の全余核を定義・研究し、空間値図式からの構成を一般化すること。
• ホモトピー極限から全余核への写像スペクトルへの比較写像を構成すること。
• この比較写像が安定同値となるような順序集合の対 $\mathcal{D} \subset \mathcal{C}$ を正確に同定すること。
• ホモトピー極限のBousfield-Kanスペクトル系列を、特に多面体複体上の図式に対して全余核の設定へ一般化すること。
• 全余核とホモトピー極限の間に安定同値が成立する条件を、$|\mathcal{C}|$ がPL球で $|\mathcal{D}|$ がその境界である場合に、$m$-重ループまでに特定すること。

提案手法

• スペクトル図式 $Y$ が順序集合 $\mathcal{C}$ に添付されているとき、部分順序集合 $\mathcal{D}$ を用いて、全余核 $\Gamma(Y)$ をホモトピー同型コロイド $\mathrm{hocolim}_{\mathcal{D}}(Y) \to \mathrm{hocolim}_{\mathcal{C}}(Y)$ のホモトピー余コロイドとして定義する。
• $Z$ を順序集合の対 $\mathcal{C}$, $\mathcal{D}$ から得られる単体的集合とし、$\hat{\Gamma}(Y)$ を $\Gamma(Y)$ のファイブレーション補完とする。このとき、比較写像 $\hat{\Gamma}_Y: \mathrm{holim}_{\mathcal{C}}(Y) \to \hom(Z, \hat{\Gamma}(Y))$ を構成する。
• 比較写像 $\hat{\Gamma}_Y$ の安定同値性を、空間 $Z$ の安定コホモトピー群の言語で特徴づけ、$\hat{\Gamma}_Y$ が安定同値であるのは $n < 0$ に対して $\pi_s^n(Z) = 0$ であるときであることを示す。
• ホモトピー極限のBousfield-Kanスペクトル系列を用いて、$\pi_*(\Gamma(Y))$ のスペクトル系列を構成し、$E^2$-項に高次導来逆極限 $\lim^p(\pi_*(Y))$ を含む。
• $\mathcal{C}$ が $|\mathcal{C}| \cong B^m$ で $|\mathcal{D}| \cong S^{m-1}$ を満たす有限多面体複体であるとき、$m$-重ループを施すと比較写像が安定同値に成ることを証明する。
• 結果を位相的スペクトルの図式および $H\mathbb{Z}$ を用いたEilenberg-MacLaneスペクトルによる空間値図式に適用し、以前のスペクトル系列を回復・一般化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 順序集合の対 $\mathcal{D} \subset \mathcal{C}$ がどのような条件下で、ホモトピー極限から全余核への写像スペクトルへの比較写像が安定同値となるか。
• RQ2 スペクトルの全余核構成は、安定ホモトピー論における古典的ホモトピー極限とどのように関係するか。
• RQ3 ホモトピー極限のBousfield-Kanスペクトル系列を、全余核のホモトピー群を計算するために適応可能か。
• RQ4 代数的幾何学における全余核と層コホモロジーの関係は何か、特にトーリック多様体の文脈で。
• RQ5 多面体複体上に図式が添付された場合、球体に類似た順序集合を持つ全余核のホモトピー群を支配するスペクトル系列は何か。

主な発見

• 比較写像 $\hat{\Gamma}_Y: \mathrm{holim}_{\mathcal{C}}(Y) \to \hom(Z, \hat{\Gamma}(Y))$ が安定同値であるのは、$Z$ が順序集合の対 $\mathcal{D} \subset \mathcal{C}$ に付随する単体的集合であるとき、すべての $n < 0$ に対して安定コホモトピー群 $\pi_s^n(Z)$ が消えるときである。
• $\mathcal{C}$ が $|\mathcal{C}| \cong B^m$ で $|\mathcal{D}| \cong S^{m-1}$ を満たす有限多面体複体であるとき、全余核 $\Gamma(Y)$ とホモトピー極限 $\mathrm{holim}_{\mathcal{C}}(Y)$ は $m$-重ループまでに安定同値である。
• $m$次元多面体球上の図式に対して、収束性の強いスペクトル系列 $E^2_{p,q} = \lim^p(\pi_q Y) \Rightarrow \pi_{m+q-p}(\Gamma(Y))$ が全余核のホモトピー群を計算する。
• $Y = X \wedge H\mathbb{Z}$ である図式 $X: \mathcal{C} \to \mathrm{Top}_*$ の場合、スペクトル系列は $E^2_{p,q} = \lim^p(\tilde{H}_q(X;\mathbb{Z})) \Rightarrow \tilde{H}_{m+q-p}(\Gamma(X);\mathbb{Z})$ に簡略化され、以前の多面体に関する結果を一般化する。
• スペクトルの全余核構成は、代数的幾何におけるグローバルセクションと導来函手を置き換える安定版の層コホモロジーである。
• $\lim^p(\pi_q Y)$ を用いた $\Gamma(Y)$ のスペクトル系列は、安定ホモトピー論における高次導来逆極限のホモトピー的解釈を提供する。