[論文レビュー] Total Colourings of Direct Product Graphs

Kyle MacKeigan, Jeannette Janssen|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2018

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 4被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$n$ もしくは $m$ が偶数であり、$n, m \geq 3$ であるとき、完全グラフの直積 $K_n \times K_m$ の全彩色数が $\Delta + 1$ であることを、$\Delta + 1$ 種類の色を用いた全彩色の構成によって確立している。主な手法は、既知の全彩色を持つクイーングラフ $J_{2m}$（完全グラフ $K_m \times K_2$ から完全マッチングを除いたもの）を、辺および頂点彩色の技法を用いて $K_n \times K_m$ に拡張することであり、これらの条件下でこのような積はタイプ I グラフであることが証明される。

ABSTRACT

A graph is $k$-total colourable if there is an assignment of $k$ different colours to the vertices and edges of the graph such that no two adjacent nor incident elements receive the same colour. The total chromatic number of some direct product graphs are determined. In particular, a sufficient condition is given for direct products of bipartite graphs to have total chromatic number equal to its maximum degree plus one. Partial results towards the total chromatic number of $K_n imes K_m$ are also established.

研究の動機と目的

• 直積グラフの全彩色数を特定すること、特に $K_n \times K_m$ の場合。
• 直積グラフがタイプ I（すなわち、全彩色数が $\Delta + 1$）であるための十分条件を確立すること。
• $K_n \times K_2$ に関する既知の結果を、より広いクラスの二部グラフ $H$ に対して直積を用いて拡張すること。
• $n$ もしくは $m$ が偶数の場合の $K_n \times K_m$ の全彩色状態を解明し、奇数の場合については未解決のまま残す。

提案手法

• クイーングラフ $J_{2m}$（$K_m \times K_2$ から完全マッチングを除いたもの）の既知の全彩色を活用して、$K_n \times K_m$ の全彩色を構成する。
• $J_{2m}$ の全彩色における異なる頂点色に基づき、$K_n \times K_m$ の頂点に色を割り当て、隣接する頂点が異なる色をもつようにする。
• $n$ が偶数であるため、$K_n$ を $n-2$ 種類の色で適切に辺彩色できる。これを用いて、$g((v_i,u_k)(v_j,u_t)) = c(m-1) + f(x_k y_t) + 1$（$l(v_i v_j) = c \geq 1$）という構造化された式により、$K_n \times K_m$ の辺に色を割り当てる。ここで $f$ は $J_{2m}$ の適切な辺彩色である。
• レインボーマッチングおよび適切な辺彩色の性質を用いて、辺彩色が頂点色と競合せず、適切な接続関係および隣接制約を満たすように保証する。
• $\Delta(K_n \times K_m) + 1 = (n-1)(m-1) + 1$ 種類の色を正確に使用することを示すことにより、全彩色が正確に $\Delta + 1$ 色で構成されることを証明する。
• この結果を応用して、$G \times K_2$ がタイプ I であれば、任意の二部グラフ $H$ に対して $G \times H$ もタイプ I であることを示し、完全グラフに限らない一般化を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 何の条件下で $K_n \times K_m$ の全彩色数が $\Delta + 1$ に等しくなるか？
• RQ2 $K_n \times K_2$ における全彩色の結果を、任意の二部グラフ $H$ に対して $K_n \times H$ に拡張できるか？
• RQ3 $n$ または $m$ が偶数であり、$n, m \geq 3$ のとき、$K_n \times K_m$ はタイプ I か？
• RQ4 直積グラフのどのような構造的性質が $\Delta + 1$ 全彩色を可能にするか？

主な発見

• $n$ または $m$ が偶数であり、$n, m \geq 3$ であるとき、$K_n \times K_m$ はタイプ I であり、全彩色数が $\Delta(K_n \times K_m) + 1 = (n-1)(m-1) + 1$ に等しい。
• 本稿では、$(n-1)(m-1) + 1$ 種類の色を正確に使用する明示的な全彩色を構成しており、上記の条件下で全彩色数が $\Delta + 1$ に等しいことを確認している。
• 任意の二部グラフ $H$ に対して、$G \times K_2$ がタイプ I であれば、$G \times H$ もタイプ I であることが示され、完全グラフに限らない結果の一般化が達成された。
• $K_n \times K_m$ の全彩色は、$K_n$ の適切な辺彩色と $J_{2m}$ の全彩色を組み合わせることで達成され、色の競合を避けるための式が用いられている。
• この構成は、$K_{m,m}$ における完全なレインボーマッチングに依存しており、これにより $J_{2m}$ の各二部分割に異なる色が割り当てられ、$K_n \times K_m$ への一貫した拡張が可能になる。
• $n$ と $m$ がともに奇数の場合、全彩色数は未解決のまま残り、この場合には本手法は拡張できない。