[論文レビュー] Total dominator chromatic number and Mycieleskian graphs

Adel P. Kazemi|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2013

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 1被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、マイエィルスキー的グラフにおける全支配彩色数（$\chi_d^t$）を調査し、$\chi_d^t(M(G))$ が $\chi_d^t(G)+1$ から $\chi_d^t(G)+2$ の間にあることを証明し、各境界に達するグラフ族を同定している。サイクル、パス、およびそれらの補グラフのマイエィルスキー的グラフにおける $\chi_d^t$ の正確な公式を確立し、任意の $\chi_d^t = k \geq 3$ をもつ非完全グラフの存在を示している。これらの結果により、マイエィルスキー的構成を用いて、全支配彩色理論が顕著なグラフクラスへと拡張される。

ABSTRACT

A total dominator coloring of a graph $G$ is a proper coloring of $G$ in which each vertex of the graph is adjacent to every vertex of some color class. The total dominator chromatic number $χ_d^t(G)$ of $G$ is the minimum number of color classes in a total dominator coloring of it. In [Total dominator chromatic number of a graph, submitted] the author initialed to study this number in graphs and obtained some important results. Here, we continue it in Mycieleskian graphs. We show that the total dominator chromatic number of the Mycieleskian of a graph $G$ belongs to between $χ_d^t(G)+1$ and $χ_d^t(G)+2$, and then characterize the family of graphs the their total dominator chromatic numbers are each of them.

研究の動機と目的

• グラフの複雑さを増加させつつ構造的性質を保持するマイエィルスキー的構成を用いて、全支配彩色数（$\chi_d^t$）の研究をマイエィルスキー的グラフへと拡張すること。
• $\chi_d^t(G)$ に対して $\chi_d^t(M(G))$ のタイトな境界を確立し、$[\chi_d^t(G)+1, \chi_d^t(G)+2]$ の区間内にあることを示すこと。
• $\chi_d^t(M(G))$ がそれぞれの上界に達するグラフ族を同定すること。
• G がサイクル $C_n$、パス $P_n$、またはそれらの補グラフである場合の $\chi_d^t(M(G))$ の正確な公式を導出すること。
• 任意の与えられた全支配彩色数 $k \geq 3$ をもつ非完全グラフが存在することを示し、分野における構造的問題を解決すること。

提案手法

• 本稿は、頂点集合のコピーと新たなユニバーサル頂点を追加することで $M(G)$ を生成するマイエィルスキー的構成を用いる。
• 全支配彩色における色クラスの「私的隣接頂点」と「共通隣接頂点」の概念を適用し、$M(G)$ における全支配彩色を分析する。
• 特に、元の頂点、コピー頂点 $U$、および新たなユニバーサル頂点 $w$ の役割を分析することで、全支配彩色の隣接条件を満たすための構造的分解に依存する。
• サイクルおよびパスの次数の偶奇性や剰余算術に基づく場合分けを用い、$\chi_d^t(M(C_n))$、$\chi_d^t(M(P_n))$、およびそれらの補グラフの正確な値を導出する。
• 色クラスに私的隣接頂点が存在しないグラフ（クラス1）と、すべての色クラスに私的隣接頂点が存在するグラフ（クラス2）の分類を導入・応用し、マイエィルスキー操作における閉包性および伝播性を証明する。
• 非完全グラフが $\chi_d^t = k$ をもつことの証明には、$K_3$ から始める反復的マイエィルスキー的構成を用い、$G \in \text{クラス }1$ ならば $M(G) \in \text{クラス }1$ であるという事実を活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般のグラフ $G$ に対して、$\chi_d^t(G)$ と $\chi_d^t(M(G))$ の関係は何か？
• RQ2 どのグラフ族に対して $\chi_d^t(M(G)) = \chi_d^t(G)+1$ が成り立ち、どの族に対して $\chi_d^t(M(G)) = \chi_d^t(G)+2$ が成り立つか？
• RQ3 $\chi_d^t(M(C_n))$、$\chi_d^t(M(P_n))$、$\chi_d^t(M(\overline{C_n}))$、$\chi_d^t(M(\overline{P_n}))$ の正確な値は何か？
• RQ4 任意の与えられた全支配彩色数 $k \geq 3$ をもつ非完全グラフが存在するか？
• RQ5 マイエィルスキー的操作は、全支配彩色における色クラスの私的隣接頂点構造にどのように影響するか？

主な発見

• マイエィルスキー的グラフの全支配彩色数は、$\chi_d^t(G)+1 \leq \chi_d^t(M(G)) \leq \chi_d^t(G)+2$ を満たし、両方の境界がタイトである。
• サイクルに対しては、$n \equiv r \pmod{6}$ かつ $r \in \{0,1,2\}$ の場合、$\chi_d^t(M(C_n)) = 4\lfloor n/6 \rfloor + r + 2$ であり、$r \in \{3,4,5\}$ かつ $n \neq 4,5$ の場合、$\chi_d^t(M(C_n)) = 4\lfloor n/6 \rfloor + r + 1$ である。$\chi_d^t(M(C_4)) = 4$ かつ $\chi_d^t(M(C_5)) = 5$ である。
• サイクルの補グラフに対しては、$n=4,5$ のとき $\chi_d^t(M(\overline{C_n})) = 6$、$n=6$ のとき $5$、$n \geq 7$ のとき $\lceil n/2 \rceil + 1$ であり、$n$ が大きくなると顕著な増加が見られる。
• パスに対しては、$n \equiv 0 \pmod{3}$ のとき $\chi_d^t(M(P_n)) = 2\lceil n/3 \rceil + 2$、$n \equiv 2 \pmod{3}$ のとき $2\lceil n/3 \rceil + 1$、$n \equiv 1 \pmod{3}$ のとき $2\lceil n/3 \rceil$ であり、$\chi_d^t(M(P_2)) = 4$ である。$n \mod 3$ に依存する複雑な依存関係が示されている。
• パスの補グラフに対しては、$n=4$ のとき $\chi_d^t(M(\overline{P_n})) = 4$、$n \geq 5$ のとき $\lceil n/2 \rceil + 1$ であり、$n=5$ 以降で急激な増加が見られる。
• 本稿は、任意の $k \geq 3$ に対して、$\chi_d^t(G) = k$ をもつ非完全グラフが存在することを証明し、$K_3$ から反復的マイエィルスキー的構成を用いて達成されることを示し、未解決の構造的問題を解決している。