[論文レビュー] Total dominator chromatic number of some operations on a graph

Nima Ghanbari, ‎Saeid Alikhani|arXiv (Cornell University)|Jun 2, 2016

Advanced Graph Theory Research被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、頂点/辺の削除、辺の収縮、近傍辺の削除（$G \odot v$）といったさまざまなグラフ操作における全支配彩色数（$\chi_d^t$）の変化を調査する。これらの操作における$\chi_d^t$の変化のタイトな境界を確立し、頂点の収縮では$\chi_d^t$が高々$\deg(v)+1$増加し、近傍辺の削除では$\deg(v)-1$まで減少することを示し、鋭い例も提示している。

ABSTRACT

Let $G$ be a simple graph. A total dominator coloring of $G$ is a proper coloring of the vertices of $G$ in which each vertex of the graph is adjacent to every vertex of some color class. The total dominator chromatic number $χ_d^t(G)$ of $G$ is the minimum number of colors among all total dominator coloring of $G$. In this paper, we examine the effects on $χ_d^t(G)$ when $G$ is modified by operations on vertex and edge of $G$.

研究の動機と目的

• グラフが頂点および辺の操作によって変更された際の全支配彩色数（$\chi_d^t$）の挙動を調査すること。
• 頂点の削除、辺の削除、辺の収縮、および$G \odot v$操作における$\chi_d^t$の上界および下界を確立すること。
• 構造的変更、特に頂点の次数と連結性との関係において、彩色数がどのように変化するかを特定すること。
• 導出された境界のタイトさを実証する鋭い例を提供すること。

提案手法

• 全支配彩色（TDC）を用いる。TDCとは、すべての頂点が、ある他の色クラスのすべての頂点に隣接するような適切な彩色であり、$\chi_d^t(G)$をそのような色クラスの最小数として定義する。
• 削除または収縮される辺の端点が同じ色クラスに属するかどうかに基づくケース別分析を用いて境界を導出する。
• 変更された頂点または辺に隣接する頂点の色を調整することで、修正されたグラフに対するTD彩色を構成し、全支配条件を保つ。
• パス、サイクル、完全グラフ、星形グラフにおける$\chi_d^t$の既知の結果を用いて境界を検証し、鋭い例を構築する。
• 帰納法と構造的分解を用いて、$\chi_d^t(G - v)$、$\chi_d^t(G - e)$、$\chi_d^t(G / v)$、$\chi_d^t(G \odot v)$の境界を証明する。
• 極値グラフを用いて境界を検証する：収縮のための$K_{2,4}$、収縮の下界のための$C_5$、近傍辺の削除のための$K_n$。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連結グラフから頂点を削除した場合、全支配彩色数$\chi_d^t$はどのように変化するか？
• RQ2 連結グラフから非ブリッジ辺$e$を削除した場合、$\chi_d^t(G - e)$のタイトな上界および下界は何か？
• RQ3 辺の収縮$G / v$における$\chi_d^t$の挙動はどのようにか？また、収縮された頂点の次数に依存するか？
• RQ4 頂点$v$の近傍同士のすべての辺を削除する操作（すなわち$G \odot v$）が$\chi_d^t$に与える影響は何か？
• RQ5 比$\chi_d^t(G)/\chi_d^t(G \odot v)$は任意に大きくなる可能性があるか？ もしそうなら、どのような条件下でそうなるか？

主な発見

• ブリッジでない辺$e$を削除した場合、$\chi_d^t(G) - 1 \leq \chi_d^t(G - e) \leq \chi_d^t(G) + 2$であり、両方の境界が鋭い。
• 頂点の削除$G - v$に対して、$\chi_d^t(G - v) \leq \chi_d^t(G) + 1$が成り立ち、下界$\chi_d^t(G - v) \geq \chi_d^t(G) - 1$に対してもタイトである。
• 辺の収縮$G / v$において、全支配彩色数は$\chi_d^t(G) - 2 \leq \chi_d^t(G / v) \leq \chi_d^t(G) + \deg(v) - 1$を満たし、両方の境界が鋭い。
• $G \odot v$操作（$v$の近傍間の辺の削除）に対しては、$\chi_d^t(G) - \deg(v) + 1 \leq \chi_d^t(G \odot v) \leq \chi_d^t(G) + 1$であり、両方の境界が鋭い。
• 比$\chi_d^t(G)/\chi_d^t(G \odot v)$は、$G = K_n$かつ$G \odot v = S_n$の場合に任意に大きくなる。このとき$\chi_d^t(K_n) = n$、$\chi_d^t(S_n) = 2$であり、比は$n/2$である。
• 鋭い例として、$K_{2,4}$は収縮（$\chi_d^t$が2から5に変化）に、$C_5$は収縮の下界（$\chi_d^t$が4から4に変化）に用いられ、境界のタイトさが確認されている。