[論文レビュー] Total occurrence statistics on restricted permutations

Alexander Burstein, Sergi Elizalde|arXiv (Cornell University)|May 14, 2013

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ひとこと要約

この論文は、生成関数、Dyckパスの双対写像、およびブロック分解を用いて、2-3-1-回避および3-2-1-回避置換における長さ3のvincularパターンの総出現回数の正確な公式を導出する。主な結果として、二項係数を含む閉形式の表現や、反転数や主要指数などの統計量に関してパターン出現を数える連分数生成関数が得られ、特定のパターンに関して等分布の現象が明らかになる。

ABSTRACT

We study the total number of occurrences of several vincular (also called generalized) patterns and other statistics, such as the major index and the Denert statistic, on permutations avoiding a pattern of length 3, extending results of Bona (2010, 2012) and Homberger (2012). In particular, for 2-3-1-avoiding permutations, we find the total number of occurrences of any vincular pattern of length 3. In some cases the answer is given by simple expressions involving binomial coefficients. The tools we use are bijections with Dyck paths, generating functions, and block decompositions of permutations.

研究の動機と目的

• 2-3-1または3-2-1-回避置換における長さ3のvincularパターンの出現回数の総数を特定すること。
• 従来の古典的および連続パターン統計の研究を、制限された置換クラスにおける一般化（vincular）パターンに拡張すること。
• 2-3-1-回避置換における13-2および31-2などの特定のvincularパターンに関して、等分布の結果を確立すること。
• 重みを保つ双対写像と生成関数を用いて、パターン統計とDyckパス統計を結びつけること。
• パターン出現の生成関数とステアーケーストポリオミノなどの組合せ的対象との関係を調査すること。

提案手法

• 最大要素によって分離される左部および右部に分解された2-3-1-回避置換のブロック分解。
• パターン出現を追跡する変数を含む生成関数の使用により、再帰的関数方程式が導かれる。
• パターン統計を符号化する連分数生成関数、例えば $ F(q,z) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{z}{1 - \cfrac{z}{1 - \cfrac{zq}{1 - \cdots}}}} $ の導出。
• ステアーケーストポリオミノとDyckパスの間の重みを保つ双対写像の構築により、面積統計とパターン重みが結びつけられる。
• Catalan数および $ q $-二項係数に関連する既知の生成関数の恒等式を用いて閉形式を導出する。
• 多変数生成関数と偏微分を用いて、制限された置換集合上の分布統計を抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合 $ \mathcal{S}_n(2\text{-}3\text{-}1) $ における任意の長さ3のvincularパターンの出現回数の総数は何か？
• RQ2 13-2と31-2の出現回数の統計は、$ \mathcal{S}_n(2\text{-}3\text{-}1) $ において等分布しているか？
• RQ3 パターン出現の生成関数は、Dyckパスおよびポリオミノの生成関数とどのように関係しているか？
• RQ4 3-2-1-回避置換における反転数の生成関数は、2-3-1-回避置換におけるパターン出現の生成関数と関係づけられるか？
• RQ5 同じ生成関数に対応する異なる重み割り当てを持つDyckパスの間で、直接的な重みを保つ双対写像が存在するか？

主な発見

• 特定の状況において二項係数を含む閉形式の表現により、$ \mathcal{S}_n(2\text{-}3\text{-}1) $ における任意の長さ3のvincularパターンの出現回数の総数が与えられる。
• 13-2と31-2の出現回数は、再帰的ブロック分解と生成関数の恒等式を用いて、$ \mathcal{S}_n(2\text{-}3\text{-}1) $ で等分布していることが示された。
• パターン出現の生成関数 $ F(q,z) $ は、連分数の恒等式 $ F(q,z) = \cfrac{1}{1 - \cfrac{z}{1 - \cfrac{z}{1 - \cfrac{zq}{1 - \cdots}}}} $ を満たす。
• 生成関数 $ F(q,z) $ は、$ F(q,z) = 1 + \frac{q}{z}P(q, \frac{z}{q}) $ を用いてステアーケーストポリオミノの生成関数 $ P(q,z) $ と関係づけられ、ここで $ P(q,z) $ は面積と半周長でポリオミノを数える。
• 生成関数 $ F(q,z) $ は、3-2-1-回避置換の生成関数 $ \mathfrak{J}(q,1;z) $ と $ F(q,z) = \frac{1}{1 - z\mathfrak{J}(q,1;z)} $ の関係で結びつけられる。
• 本論文は、生成関数 $ \hat{F}(q,z) = F(q,zq) $ が、高さ $ h $ における $ U $ ステップを重み $ q^{\lfloor h/2\rfloor + 1} $ で重み付けしたDyckパスを数えることを確立し、ポリオミノの面積統計と関連づけた。