[論文レビュー] Total proper connection of graphs

Hui Jiang, Xueliang Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、頂点と辺の両方が彩色され、任意の2頂点が隣接する辺、内部の隣接頂点、および内部頂点とその接続辺がすべて色分けの異なるパスで接続されるようなグラフにおける総適正接続の概念を導入する。主な貢献は、2連結グラフに対して tpc(G) ≤ 4 が成り立ち、これが鋭い上界であることを示したこと、および最小次数 δ と位数 n を用いた一般の連結グラフに対して tpc(G) ≤ 3n/(δ+1)+1 という上界を確立したことにある。

ABSTRACT

A graph is said to be {\it total-colored} if all the edges and the vertices of the graph is colored. A path in a total-colored graph is a {\it total proper path} if $(i)$ any two adjacent edges on the path differ in color, $(ii)$ any two internal adjacent vertices on the path differ in color, and $(iii)$ any internal vertex of the path differs in color from its incident edges on the path. A total-colored graph is called {\it total-proper connected} if any two vertices of the graph are connected by a total proper path of the graph. For a connected graph $G$, the {\it total proper connection number} of $G$, denoted by $tpc(G)$, is defined as the smallest number of colors required to make $G$ total-proper connected. These concepts are inspired by the concepts of proper connection number $pc(G)$, proper vertex connection number $pvc(G)$ and total rainbow connection number $trc(G)$ of a connected graph $G$. In this paper, we first determine the value of the total proper connection number $tpc(G)$ for some special graphs $G$. Secondly, we obtain that $tpc(G)\leq 4$ for any $2$-connected graph $G$ and give examples to show that the upper bound $4$ is sharp. For general graphs, we also obtain an upper bound for $tpc(G)$. Furthermore, we prove that $tpc(G)\leq \frac{3n}{δ+1}+1$ for a connected graph $G$ with order $n$ and minimum degree $δ$. Finally, we compare $tpc(G)$ with $pvc(G)$ and $pc(G)$, respectively, and obtain that $tpc(G)>pvc(G)$ for any nontrivial connected graph $G$, and that $tpc(G)$ and $pc(G)$ can differ by $t$ for $0\leq t\leq 2$.

研究の動機と目的

• 適正接続とレインボー接続に関する先行研究を拡張し、グラフにおける総適正接続の概念を定義・形式化すること。
• 木、完全二部グラフ、完全多部グラフなどの特定のグラフクラスにおける総適正接続数 tpc(G) を特定すること。
• 2連結および一般の連結グラフに対して tpc(G) の鋭い上界を確立すること、特に最小次数 δ と位数 n に着目すること。
• tpc(G) と適正接続数 pc(G)、適正頂点接続数 pvc(G) の関係を比較し、厳密な不等式関係や値の差異を明らかにすること。

提案手法

• 隣接する辺、内部の隣接頂点、および内部頂点とその接続辺がすべて色分けの異なるパスを、総適正パスとして定義する。
• すべての頂点のペアが総適正パスで接続されるようにするための最小色数を、総適正接続数 tpc(G) として定義する。
• 支配集合 D と層 N¹(D)、N²(D) を用いたスパニング部分グラフ構成を用いて、接続性と彩色割り当てを分析する。
• N²(D) 内の頂点の共通近傍の交差に基づくケース解析を適用し、総適正接続性を保証する彩色戦略を設計する。
• 層 N¹(D)、N²(D)、D における辺と頂点に色を割り当てる彩色スキームを採用し、総適正パスの条件を満たすようにする。
• 一般の連結グラフにおける支配集合のサイズと次数制約を活用して、上界 tpc(G) ≤ 3n/(δ+1) + 1 を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非自明な木、完全二部グラフ、完全多部グラフなどの特殊なグラフクラスに対して tpc(G) の値は何か？
• RQ2 2連結グラフに対して tpc(G) の最大値は何か？この上界は鋭いか？
• RQ3 tpc(G) は適正接続数 pc(G) および適正頂点接続数 pvc(G) とどのように関係するか？
• RQ4 tpc(G) と pc(G) は 2 を超えて異なる可能性があるか？また、任意の t に対して tpc(G) = pc(G) + t を満たすグラフが存在するか？
• RQ5 任意の k ≥ 4 に対して、tpc(G) = pc(G) = k を満たすグラフ G が存在するか？

主な発見

• 任意の2連結グラフ G に対して tpc(G) ≤ 4 であり、この上界は鋭く、明示的な例によって示されている。
• 位数 n と最小次数 δ を持つ一般の連結グラフ G に対して、tpc(G) ≤ 3n/(δ+1) + 1 が成り立つ。
• 非自明な連結グラフ G に対して常に tpc(G) > pvc(G) であり、G が完全でない限り tpc(G) ≥ 3 かつ pvc(G) ≤ 2 である。
• tpc(G) = pc(G) = 3 を満たすグラフが存在し、この2つの不変量が1より大きく等しい値をとることを示している。
• Δ(T) ≥ 3 を満たす木 T に対して tpc(T) = pc(T) + 1 であり、tpc(G) = pc(G) + 2 を満たすグラフが存在する。
• tpc(G) と pc(G) が t ≥ 3 で異なる可能性があるかどうかは未解決であり、このようなグラフの存在に関するオープンな問題を提起している。