[論文レビュー] Total Variation and Variational Symplectic-Energy-Momentum integrators

Jing‐Bo Chen, Han-Ying Guo+1 more|ArXiv.org|Sep 23, 2001

Numerical methods for differential equations参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、可変時間ステップを有する離散全 variation 計算を導入し、リーの離散力学を一般化することで、変分的シンプレクティック・エネルギー・モーメンタム積分法を導出する。シンプレクティック構造と離散エネルギーの両方を保存する離散変分原理を定式化することで、著者らはリーのエネルギー保存型アプローチとケイン＝マルズデン＝オルティスの変分的積分法を統合し、得られた積分法がシンプレクティックかつエネルギー保存的であり、連続極限において連続的なオイラー＝ラグランジュ方程式に収束することを証明する。

ABSTRACT

A discrete total variation calculus with variable time steps is presented in this letter. Using this discrete variation calculus, we generalize Lee's discrete mechanics and derive variational symplectic-energy-momentum integrators by Kane, Marsden and Ortiz. The relationship among discrete total variation, Lee's discrete mechanics and Kane-Marsden-Ortiz's integrators is explored.

研究の動機と目的

• 固定ステップにとどまらない、可変時間ステップを組み込んだ離散全 variation 計算を構築し、リーの離散力学を固定ステップに限らない形に拡張すること。
• 共通の変分的枠組みを通じて、リーのエネルギー保存型離散力学とケイン＝マルズデン＝オルティスの変分的シンプレクティック・エネルギー・モーメンタム積分法を統合すること。
• 保存則系の力学的系の数値積分において、シンプレクティック性と正確なエネルギー保存を同時に保証する離散変分原理を確立すること。
• 得られた積分法が正しい連続極限を持つこと、および連続ラグランジュ力学の主要な幾何的構造を保存することを示すこと。

提案手法

• 時間ステップを動的変数として扱い、位置と時間間隔の両方について変分をとることで、時間ステップが可変である離散全 variation 計算を定式化する。
• 可変時間ステップ上で定義された離散ラグランジアンに変分原理を適用し、離散オイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。
• 離散拡張ラグランジアン1形式とその外微分（離散シンプレクティック2形式）を導入し、積分法のシンプレクティック性を保証する。
• 変分原理から導かれる離散エネルギー保存条件を課し、エネルギーを正確に保存する時間ステップの調整を実現する。
• 時間ステップが固定されている場合、得られた積分法がケイン＝マルズデン＝オルティスのシンプレクティック・エネルギー・モーメンタム積分法に還元され、時間ステップがゼロに近づく極限で連続的なオイラー＝ラグランジュ方程式に収束することを示す。
• 離散シンプレクティック2形式が、時間ステップがゼロに近づく極限で連続シンプレクティック形式に収束することを示し、幾何的整合性を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続力学の幾何的構造を保存しつつ、可変時間ステップを含む離散全 variation 計算をどのように定式化できるか？
• RQ2 リーの離散力学（可変時間ステップでエネルギー保存）とケイン＝マルズデン＝オルティスの変分的シンプレクティック・エネルギー・モーメンタム積分法との関係は何か？
• RQ3 離散力学系において、同時にシンプレクティック性と正確なエネルギー保存を保証する変分原理を構築できるか？
• RQ4 離散シンプレクティック2形式と離散エネルギー保存則は、どのように同一の変分枠組みから導かれるか？
• RQ5 提案された離散積分法の連続極限は何か？ また、正しい連続的運動方程式を回復するか？

主な発見

• 可変時間ステップを有する提案された離散全 variation 計算は、リーの離散力学を一般化し、シンプレクティック性を変分原理から導出する根本的性質として組み込んでいる。
• 得られた積分法は、シンプレクティックかつエネルギー保存的であり、離散シンプレクティック2形式の条件と離散エネルギー保存則 (3.21) を正確に満たす。
• 離散エネルギー保存則 (3.21) は、ケイン＝マルズデン＝オルティスの手法とは異なり、変分原理から直接導出されている。
• 離散拡張ラグランジアン1形式 (3.23) 及びその外微分（離散シンプレクティック形式）は、時間ステップがゼロに近づく極限で、それらの連続的対応物 (2.15) および (2.16) に収束する。
• 離散オイラー＝ラグランジュ方程式 (3.19) は、連続極限において連続的オイラー＝ラグランジュ方程式 (3.20) に還元され、古典力学と整合性があることが確認される。
• 本手法は、リーのエネルギー保存型アプローチとケイン＝マルズデン＝オルティスの変分的積分法を統合し、境界値問題として解かれた場合、リーの差分方程式がケイン＝マルズデン＝オルティスの積分法と等価であることを示している。