[論文レビュー] Total variation distance between two diffusions in small time with unbounded drift: application to the Euler-Maruyama scheme

Pierre Bras, Gilles Pagès+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2021

Stochastic processes and financial applications参考文献 5被引用数 1

ひとこと要約

本稿は、微小時間における係数が近い2つの Itô 過程の全 Variation (TV) 距離について鋭い評価を確立する。特に、Euler-Maruyama スキームに対して、多段階 Richardson-Romberg 外挿法と Aroson の遷移密度に関する境界を用いて、拡散係数が $ C_b^{2r} $ で、ドリフトが $ C^1 $ かつ導関数が有界であるとき、TV 距離が $ t^{r/(2r+1)} $ のオーダーであることを証明する。これは古典的な $ t^{1/2} $ のレートを改善する。一般には $ t^{1/2} $ が最良であることを確認する反例も提示する。

ABSTRACT

We give bounds for the total variation distance between the solutions to two stochastic differential equations starting at the same point and with close coefficients, which applies in particular to the distance between an exact solution and its Euler-Maruyama scheme in small time. We show that for small $t$, the total variation distance is of order $t^{r/(2r+1)}$ if the noise coefficient $\sigma$ of the SDE is elliptic and $\mathcal{C}^{2r}_b$, $r\in \mathbb{N}$ and if the drift is $C^1$ with bounded derivatives, using multi-step Richardson-Romberg extrapolation. We do not require the drift to be bounded. Then we prove with a counterexample that we cannot achieve a bound better than $t^{1/2}$ in general.

研究の動機と目的

• 微小時間における係数が近い2つの Itô 過程の全 Variation 距離に対する非漸近的評価を導出すること。
• ドリフトが無限大である場合を含め、Euler-Maruyama スキームの全 Variation における収束速度を分析すること。
• 一般設定において $ t^{1/2} $ の収束速度が最良であることを確立すること。
• 外挿技術を用いて、有界ドリフトや定数拡散係数にとどまらない既存の結果を拡張すること。

提案手法

• SDE 近似における全 Variation での収束速度を向上させるために、多段階 Richardson-Romberg 外挿法を適用する。
• 過酷な法則の正則性を制御するために、遷移密度カーネルに関するアロンソンの境界を用いる。
• Malliavin 微積分に類似した部分積分技術を用いて、TV 距離における密度の導関数を評価する。
• 高次の項が消える係数を有するテイラー展開を構築して、外挿スキームを実装する。
• Girsanov 型の議論と遷移密度の比較を用いて、TV 距離を評価する。
• 幾何ブラウン運動を用いた反例を構築し、$ t^{1/2} $ が最良であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微小時間における SDE とその Euler-Maruyama スキームとの間の全 Variation 収束速度の最良レートは何か？
• RQ2 拡散係数が滑らかでドリフトが無限大である場合、$ t^{1/2} $ よりも収束速度を改善できるか？
• RQ3 ドリフトが有界であっても、一般には $ t^{1/2} $ のレートがタイトであるか？
• RQ4 リチャードソン・ロムバーグ外挿法は、無限大ドリフトを有する SDE に対して TV 収束速度をどのように改善するか？
• RQ5 拡散係数の強楕円性と滑らかさは、TV 収束にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 拡散係数が $ C_b^{2r} $ でドリフトが $ C^1 $ かつ導関数が有界であるとき、係数が近い2つの過酷な距離の全 Variation 距離は $ C t^{r/(2r+1)} $ で有界である。
• $ r \to \infty $ のとき、収束速度は $ t^{1/2} \exp(C \sqrt{\log(1/t)}) $ に近づき、これはほぼ $ t^{1/2} $ に等しい。
• 幾何ブラウン運動を用いた反例により、一般には $ t^{1/2} $ のレートが鋭く、改善できないことが示された。
• $ C_b^2 $ 拡散係数と $ C^1 $ ドリフトに対して、本手法は $ t^{1/3} $ のレートを達成し、古典的な $ t^{1/2} $ の境界を改善する。
• ドリフトが無限大であっても、境界が成り立つという、先行研究を超える重要な拡張である。
• TV 距離はドリフトの差異ではなく、主に拡散係数の振る舞いに支配され、滑らかさの下でレートが向上する理由を説明する。