[論文レビュー] Total Variation Regularisation in Measurement and Image space for PET reconstruction

Martin Burger, Jahn Müller+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2014

Medical Imaging Techniques and Applications参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、画像空間および投影（シンログラム）空間の両方で同時に全 Variation（TV）正則化を適用することで、特に細い構造の再構成品質を向上させる、新しいPET画像再構成手法を提案する。画像とそのラドン変換（シンログラム）の両方のTVペナルティを併用して最小化することにより、段差アーチファクトを低減し、エッジの保持を向上させ、シンログラム正則化を適用した場合、滑らかな境界を持つ高解像度で現実的なアーチファクトにおいて、SNRが向上する。

ABSTRACT

The aim of this paper is to test and analyze a novel technique for image reconstruction in positron emission tomography, which is based on (total variation) regularization on both the image space and the projection space. We formulate our variational problem considering both total variation penalty terms on the image and on an idealized sinogram to be reconstructed from a given Poisson distributed noisy sinogram. We prove existence, uniqueness and stability results for the proposed model and provide some analytical insight into the structures favoured by joint regularization. For the numerical solution of the corresponding discretized problem we employ the split Bregman algorithm and extensively test the approach in comparison to standard total variation regularization on the image. The numerical results show that an additional penalty on the sinogram performs better on reconstructing images with thin structures.

研究の動機と目的

• ノイズによってぼやけやすい細く細長い構造の再構成品質を向上させること。
• 標準的な画像空間TV正則化には、物体境界に沿って段差アーチファクトを引き起こすという限界があるため、それを是正すること。
• 測定値にポアソンノイズが存在する状況下で、画像空間に加えてシンログラム（投影データ）を正則化することで再構成の忠実度が向上するかを調査すること。
• 提案された連合正則化モデルに対して、解の存在、一意性、安定性に関する理論的保証を確立すること。
• 数値的に、連合正則化が標準的な画像専用TVよりも、細かいディテールを保持し、SNRを向上させることを実証すること。特に、滑らかな境界を持つ高解像度で現実的なアーチファクトにおいて有効である。

提案手法

• 画像 $ u \in BV(\mathbb{R}^2) $ とシンログラム $ \mathcal{R}u \in BV(\Sigma) $（$ \Sigma $ は投影空間）の両方に全 Variation（TV）ペナルティを適用する変分PET再構成モデルを定式化する。
• 測定値 $ g $ におけるポアソンノイズをモデル化するため、重み付き $ L^2 $ 擬似適合項 $ \int_{\Sigma} \frac{(g - \mathcal{R}u)^2}{g} $ を用いたKullback-Leibler発散の近似を用いる。
• 画像空間とシンログラム空間のTVペナルティのバランスを取るために、2つの正則化パラメータ $ \alpha $ と $ \beta $ を導入する。
• 離散化された最適化問題の効率的数値解法として、スプリットBregman法を採用する。
• 平面 $ \mathbb{R}^2 $ 内の円形物体について、解析的に解を導出し、ラドン変換を用いて対応するシンログラムと画像を計算する。
• XCATアーチファクトを用いた数値実験を行い、さまざまなノイズレベルと解像度下で、シンログラム正則化ありとなしの再構成を比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 画像空間とシンログラム空間の両方で連合TV正則化を適用することで、標準的な画像空間TVのみに比べ、PET画像における細く細長い構造の保持が向上するか？
• RQ2 解の存在、一意性、安定性という観点から、提案モデルの理論的挙動はいかなるものか？
• RQ3 シンログラム正則化パラメータ $ \beta $ の選択が、特に物体のサイズや境界構造に関連して再構成品質に与える影響は何か？
• RQ4 TV正則化PET再構成でよく見られるステアカリング効果は、本手法によって低減できるか？
• RQ5 滑らかな境界を持つ高解像度で現実的なアーチファクトにおいて、シンログラム正則化がSNRを向上させる条件は何か？

主な発見

• 画像空間とシンログラム空間の両方でTV正則化を適用することで、特に高解像度XCATアーチファクト再構成において、物体境界に沿った段差アーチファクトが顕著に低減される。
• 初期データに滑らかな境界（現実的で高解像度のアーチファクトの特徴）がある場合、シンログラム正則化によりSNRが最大1.75 dB向上（17.76 dBから19.51 dB）し、その有効性が示された。
• ブロック状の境界を持つ低解像度アーチファクトでは、シンログラム正則化が過剰平滑化を引き起こし、SNRが低下するため、その効果は文脈依存であることが判明した。
• 最適な $ \beta $ 値は、物体の半径 $ r $ やその凸包のサイズに近いことが判明し、正則化強度と物体サイズとの幾何的関係が示唆された。
• 理論的解析により、解の存在、一意性、安定性が確認された。Bregman距離を用いて誤差と収束性を定量化した。
• 数値結果から、本手法は、特にノイズが多く高解像度な状況下で、標準的な画像専用TV正則化よりも細かい構造の保持とエッジのシャープネス向上に優れていることが示された。