[論文レビュー] Total weight choosability of d-degenerate graphs

Tsai–Lien Wong, Xuding Zhu|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2015

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、恒等的行列式と素数位数の体を用いた代数的手法に基づき、d-非単調グラフにおける全重みの選択可能性に関する新たな結果を確立する。非二部グラフまたは疎な頂点次数条件を満たす場合、d-非単調グラフはk > dが素数のとき(1,k)-選択可能であると証明する。また、d+1が素数のとき(d,2)-選択可能であり、平面的および平均次数が有界なグラフへの応用も示す。

ABSTRACT

A graph $G$ is $(k,k')$-choosable if the following holds: For any list assignment $L$ which assigns to each vertex $v$ a set $L(v)$ of $k$ real numbers, and assigns to each edge $e$ a set $L(e)$ of $k'$ real numbers, there is a total weighting $ϕ: V(G) \cup E(G) o R$ such that $ϕ(z) \in L(z)$ for $z \in V \cup E$, and $\sum_{e \in E(u)}ϕ(e)+ϕ(u) e \sum_{e \in E(v)}ϕ(e)+ϕ(v)$ for every edge $uv$. This paper proves the following results: (1) If $G$ is a connected $d$-degenerate graph, and $k>d$ is a prime number, and $G$ is either non-bipartite or has two non-adjacent vertices $u,v$ with $d(u)+d(v) < k$, then $G$ is $(1,k)$-choosable. As a consequence, every planar graph with no isolated edges is $(1,7)$-choosable, and every connected $2$-degenerate non-bipartite graph other than $K_2$ is $(1,3)$-choosable. (2) If $d+1$ is a prime number, $v_1, v_2, \ldots, v_n$ is an ordering of the vertices of $G$ such that each vertex $v_i$ has back degree $d^-(v_i) \le d$, then there is a graph $G'$ obtained from $G$ by adding at most $d-d^-(v_i)$ leaf neighbours to $v_i$ (for each $i$) and $G'$ is $(1,2)$-choosable. (3) If $G$ is $d$-degenerate and $d+1$ a prime, then $G$ is $(d,2)$-choosable. In particular, $2$-degenerate graphs are $(2,2)$-choosable. (4) Every graph is $(\lceil\frac{{ m mad}(G)}{2} ceil+1, 2)$ -choosable. In particular, planar graphs are $(4,2)$-choosable, planar bipartite graphs are $(3,2)$-choosable.

研究の動機と目的

• d-非単調グラフが小さいリストサイズで全重みの選択可能性を満たす条件を同定すること。
• スパarsなグラフクラスにおける(1,k)-および(k,2)-選択可能性に関する未解決問題を解明すること。
• 代数的技法を用いて1-2-3および1-2予想をリスト重み付き設定に拡張すること。
• 最大平均次数と非単調性の関係を用いて、選択可能性パラメータのタイトな境界を提供すること。

提案手法

• 有限体の素数位数におけるインシデント行列の行列式に基づく代数的手法を用いる。
• インデックス関数および列操作を用いて、グラフ構造に関連する行列を操作する。
• 方向付けに基づく構成を用い、素数を法とする非特異な行列式値を保証する。
• 最大後退次数が有界な頂点順序を導入し、所望の選択可能性を持つ補助グラフを構築する。
• mad(G) ≤ 2k ならば、Gは最大出次数 ≤ k となる向き付けを持つことを利用する。
• 問題を、素数を法とする行列式が消えないことを示すことに還元し、リスト割り当ての解消可能性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 k > d が素数のとき、d-非単調グラフが(1,k)-選択可能となる条件は何か？
• RQ2 d+1が素数のとき、d-非単調グラフが(d,2)-選択可能であるか？
• RQ3 最大平均次数と(k,2)-選択可能性の関係は何か？
• RQ4 追加された葉を持つ補助グラフを用いて、選択可能性の性質をどのように移すことができるか？
• RQ5 1-2-3および1-2予想は、スパarsなグラフに対してリスト重み付き設定に拡張可能か？

主な発見

• 任意の連結d-非単調グラフで、k > d が素数のとき、非二部グラフまたはd(u)+d(v) < k を満たす隣接しない2頂点u,vが存在するならば、(1,k)-選択可能である。
• 孤立辺を含まない任意の平面的グラフは(1,7)-選択可能であり、K₂でない連結な2-非単調非二部グラフは(1,3)-選択可能である。
• d+1が素数であり、Gがd-非単調であるとき、Gは(d,2)-選択可能である。特に、2-非単調グラフは(2,2)-選択可能である。
• 任意のd-非単調グラフGでd+1が素数のとき、各頂点vᵢに高々d−d⁻(vᵢ)個の葉を追加して得られる超グラフG'が存在し、G'は(1,2)-選択可能である。
• 任意のグラフGは(⌈mad(G)/2⌉+1, 2)-選択可能である。特に、平面的グラフは(4,2)-選択可能であり、平面的非二部グラフは(3,2)-選択可能である。
• 証明は、ℤ_{d+1}上に適切に構成された行列の行列式が非ゼロであることを示すことにより、与えられたリストから適切な全重み割り当てが存在することを保証する。