[論文レビュー] Totally Asymmetric Torsion on Riemann-Cartan Manifold

Yuyiu Lam|ArXiv.org|Nov 2, 2002

Advanced Differential Geometry Research参考文献 1被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、リーマン＝カルタン多様体上での相対論的理論を提案する。ねじれは完全反対称的であり、局所慣性座標系における接続の対称部分の消滅から自然に生じる。この理論は自己平行線と計量測地線の一致を保証し、ねじれ構造から生じるスカラー場 $φ$ が、共形的類似項を通じてエインシュタインテンソルを修正し、真空中で $ω = 0$ のブラウン＝ディック理論と共形的に関係する理論を導く。

ABSTRACT

A relativistic theory constructed on Riemann-Cartan manifold with a derived totally antisymmetric torsion is proposed. It follows the coincidence of the autoparallel curve and metric geodesic. The totally antisymmetric torsion naturally appears in the theory without any ad hoc imposed on.

研究の動機と目的

• アインシュタイン＝カルタン理論における自己平行線と計量測地線の不一致（G-A問題）を、ねじれの完全反対称性を強制することで解決すること。
• 正規座標系における接続の対称部分の消滅から、完全反対称ねじれが外的な仮定なしに自然に生じることを示すこと。
• 完全反対称ねじれがスカラー場 $φ$ を導き、その場が変分原理において物質に結合しないが重力に結合する場の運動方程式を導出すること。
• 真空中で、提案された理論と $ω = 0$ のブラウン＝ディック理論との間の共形的同値性を確立し、量子重力の新たな道筋を示唆すること。

提案手法

• 点 $p$ の周囲の $U_4$ 多様体における正規（ガウス）座標を用い、接続の対称部分が消えることを示し、$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu}(0) = 0$ を得る。
• 指数写像と測地線構造を適用し、$p$ において $\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} + \Gamma^{\lambda}_{\nu\mu} = 0$ を導出し、$S^{\lambda}_{\mu\nu} = S^{\lambda}_{[\mu\nu]}$ を得る。
• 正規直交標構造を用いたカルタンの構造方程式を適用し、ねじれ1形式 $\Theta^\lambda = \frac{1}{2} S_{\mu\nu}^\lambda \theta^\mu \wedge \theta^\nu$ と曲率 $\Omega^\mu_\nu = \frac{1}{2} R^\mu_{\nu\lambda\gamma}(\Gamma) \theta^\lambda \wedge \theta^\gamma$ を表現し、ねじれと曲率の関係を確立する。
• 標準的リッチテンソルとスカラー場 $\phi$ を用いてリッチスカラー $R(\Gamma)$ を表現し、$R_{\mu\nu}(\Gamma) = R_{\mu\nu} + 2(g_{\mu\nu} \partial_\lambda \phi \partial^\lambda \phi - \partial_\mu \phi \partial_\nu \phi)$ を示す。
• ハミルトンの原理を真空作用 $\int R(\Gamma) \sqrt{-g} \, d^4x$ に適用し、計量を変分し、場の運動方程式 $G_{\mu\nu} = -6(\partial_\mu \phi \partial_\nu \phi - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} \partial_\alpha \phi \partial^\alpha \phi)$ を導出する。
• 境界項を単純化し、変分における発散項の消滅を保証するために、$\partial_\lambda \partial^\lambda \phi = 0$ の条件を課す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全反対称ねじれは、外部の仮定なしにリーマン＝カルタン多様体の幾何的構造から自然に生じるか？
• RQ2 正規座標系における接続の対称部分の消滅は、ねじれが完全反対称的でなければならないことを示唆するか？
• RQ3 得られたスカラー場 $\phi$ は真空中の重力場方程式にどのように影響を与えるか？
• RQ4 この理論とブラウン＝ディック理論との間の共形的関係は、特に $\omega = 0$ の極限でどのように規定されるか？
• RQ5 変分原理において物質に結合しない条件下で、スカラー場 $\phi$ をねじれテンソルから一貫して導出できるか？

主な発見

• 完全反対称ねじれ $S_{\lambda\mu\nu} = S_{[\lambda\mu\nu]}$ は、外部の仮定なしに正規座標系における接続の対称部分の消滅から自然に生じる。
• 自己平行線と計量測地線の一致は、$\Gamma^{\lambda}_{\mu\nu} = \{\}_{\mu}^{\lambda}_{\nu} + S_{\mu\nu}^{\lambda}$ かつ $S^{\lambda}_{\mu\nu} = S^{\lambda}_{[\mu\nu]}$ であることから、$p$ において $\Gamma^{\lambda}_{(\mu\nu)} = 0$ が成り立つため達成される。
• スカラー場 $\phi$ はねじれ構造から生じ、リッチテンソルに $R_{\mu\nu}(\Gamma) = R_{\mu\nu} + 2(g_{\mu\nu} \partial_\lambda \phi \partial^\lambda \phi - \partial_\mu \phi \partial_\nu \phi)$ の形で現れる。
• 真空中の場の運動方程式は $G_{\mu\nu} = -6(\partial_\mu \phi \partial_\nu \phi - \frac{1}{2} g_{\mu\nu} \partial_\alpha \phi \partial^\alpha \phi)$ であり、重力に負の符号の共形的結合を示す。
• 理論は真空中で $\omega = 0$ のブラウン＝ディック理論と共形的に同値であり、スカラー場 $\phi$ の結合強度が $\omega = 0$ の極限と一致する。
• スカラー場 $\phi$ は変分原理において物質に結合せず、テスト粒子が測地線に沿って運動することと整合する。$P^\lambda = 0$ かつ $T^{[\mu\nu]} = 0$ のとき、理論は標準的一般相対性理論に還元される。