[論文レビュー] Totally Geodesic Spectra of Quaternionic Hyperbolic Orbifolds

Jeffrey S. Meyer|arXiv (Cornell University)|May 14, 2015

Geometric and Algebraic Topology参考文献 21被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、算術的データを用いて共役類をパrameter化することで、有限体積のクaternion的双曲的オーロリッドおよびその一般化における完全測地的部分空間を分類する。複素双曲的完全測地的部分空間は共役類を決定するが、実双曲的ものは決定しないことが示され、さらに、Sp(m,1)（m≥2）のすべてのコンパクト格子が準可換な表面部分群を含むことを証明する。

ABSTRACT

In this paper we analyze and classify the totally geodesic subspaces of finite volume quaternionic hyperbolic orbifolds and their generalizations, locally symmetric orbifolds arising from irreducible lattices in Lie groups of the form $(\mathbf{Sp}_{2n}(\mathbb{R}))^q imes \prod_{i=1}^r \mathbf{Sp}(p_i,n-p_i) imes (\mathbf{Sp}_{2n}(\mathbb{C}))^s$. We give criteria for when the totally geodesic subspaces of such an orbifold determine its commensurability class. We give a parametrization of the commensurability classes of finite volume quaternionic hyperbolic orbifolds in terms of arithmetic data, which we use to show that the complex hyperbolic totally geodesic subspaces of a quaternionic hyperbolic orbifold determine its commensurability class, but the real hyperbolic totally geodesic subspaces do not. Lastly, our tools allow us to show that every cocompact lattice $Γ

研究の動機と目的

• 有限体積のクォータニオン的双曲的オーロリッドおよびその一般化における完全測地的部分空間を分類すること。
• このようなオーロリッドの完全測地的部分空間がその共役類を決定する条件を特定すること。
• 算術的データを用いて、有限体積のクォータニオン的双曲的オーロリッドの共役類をパrameter化すること。
• 実双曲的と複素双曲的完全測地的部分空間が共役類を決定する役割についての比較を検討すること。
• Sp(m,1)（m≥2）のコンパクト格子に準可換な表面部分群が存在することを確立すること。

提案手法

• Lie群 $(\mathbf{Sp}_{2n}(\mathbb{R}))^q \times \prod_{i=1}^r \mathbf{Sp}(p_i,n-p_i) \times (\mathbf{Sp}_{2n}(\mathbb{C}))^s$ の既約格子から生じる局所的に対称なオーロリッドを分析する。
• 算術的技法を用いて、有限体積のクォータニオン的双曲的オーロリッドの共役類をパrameter化する。
• 対称空間の構造と算術的格子の作用を用いて、完全測地的部分空間を分類する。
• 幾何的および算術的不変量を用いて、実および複素双曲的完全測地的部分空間が共役類に与える影響を比較する。
• 双曲的群における準可換性の結果および対称空間の幾何学を用いて、準可換な表面部分群の存在を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限体積のクォータニオン的双曲的オーロリッドおよびその一般化に現れる完全測地的部分空間は何か？
• RQ2 このようなオーロリッドの完全測地的部分空間がその共役類を決定する条件は何か？
• RQ3 共役類を決定する観点で、複素双曲的完全測地的部分空間と実双曲的完全測地的部分空間はどのように比較できるか？
• RQ4 有限体積のクォータニオン的双曲的オーロリッドの共役類は、その算術的データによって完全に特徴付けられるか？
• RQ5 Sp(m,1)（m≥2）のすべてのコンパクト格子は、準可換な表面部分群を含むか？

主な発見

• クォータニオン的双曲的オーロリッドの複素双曲的完全測地的部分空間は、その共役類を決定する。
• これに対して、実双曲的完全測地的部分空間は共役類を決定しない。
• 算術的データを用いて、有限体積のクォータニオン的双曲的オーロリッドの共役類のパラメータ化が達成された。
• すべてのコンパクト格子 $\Gamma < \mathbf{Sp}(m,1)$（$m \ge 2$）は、準可換な表面部分群を含む。
• 完全測地的部分空間の分類は、基礎となるリー群およびその算術的格子の構造に依存する。
• 結果として、共役類不変量における実測地的および複素測地的部分空間の役割に明確な違いが示された。