[論文レビュー] Totally Geodesic Subalgebras of Nilpotent Lie algebras

Grant Cairns, Ana Hinić Galić+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、リーマン計量を備えたノルム的Lie代数、特にフィルフォルムLie代数における完全測地的部分代数の存在と構造を、Levi-Civita接続から導かれる代数的条件を用いて調査する。すべての計量Lie代数が1次元完全測地的部分代数（すなわち測地的直線）を含むことを証明し、特定の内積を備えた標準的フィルフォルム代数において、余次元2の完全測地的部分代数を構成する。また、他のフィルフォルム代数ではこのような部分代数が存在しないことを示す。さらに、フィルフォルム代数における、直交補空間に関して不変な完全測地的部分代数の次元は、元の代数の次元の半分以下であることを示し、任意の内積に対して次元が3以上の完全測地的部分代数を持たない6次元のフィルフォルムLie代数を構成する。

ABSTRACT

A metric Lie algebra g is a Lie algebra equipped with an inner product. A subalgebra h of a metric Lie algebra g is said to be totally geodesic if the Lie subgroup corresponding to h is a totally geodesic submanifold relative to the left-invariant Riemannian metric defined by the inner product, on the simply connected Lie group associated to g. A nonzero element of g is called a geodesic if it spans a one-dimensional totally geodesic subalgebra. We give a new proof of Kaizer's theorem that every metric Lie algebra possesses a geodesic. For nilpotent Lie algebras, we give several results on the possible dimensions of totally geodesic subalgebras. We give an example of a codimension two totally geodesic subalgebra of the standard filiform nilpotent Lie algebra, equipped with a certain inner product. We prove that no other filiform Lie algebra possesses such a subalgebra. We show that in filiform nilpotent Lie algebras, totally geodesic subalgebras that leave invariant their orthogonal complements have dimension at most half the dimension of the algebra. We give an example of a 6-dimensional filiform nilpotent Lie algebra that has no totally geodesic subalgebra of dimension >2, for any choice of inner product.

研究の動機と目的

• 計量を備えたノルム的Lie代数における完全測地的部分代数の存在と構造を調査すること。
• フィルフォルムLie代数におけるこのような部分代数の最大次元を特定すること。
• Levi-Civita接続と直交補空間の条件を用いて、部分代数が完全測地的であるための特徴付けを行うこと。
• 具体的な完全測地的部分代数の例を構成すること、特に標準的フィルフォルム代数における余次元2の例を含むこと。
• 特定のフィルフォルムLie代数が、内積の選択にかかわらず次元が3以上の完全測地的部分代数を持たないことを証明すること。

提案手法

• 計量Lie代数におけるLevi-Civita接続の公式を用い、完全測地性の代数的条件 ∇_Y Z ∈ 𝔥（すべての Y,Z ∈ 𝔥 に対して）を導出する。
• 部分代数 𝔥 が完全測地的であることの特徴付けとして、すべての X ∈ 𝔥⊥, Y,Z ∈ 𝔥 に対して ⟨[X,Y],Z⟩ + ⟨[X,Z],Y⟩ = 0 が成り立つことを適用する。
• フィルフォルムLie代数の次元に関する帰納法を用い、標準基底とヤコビ恒等式を活用して構造定数を制御する。
• 標準的フィルフォルムLie代数に特定の内積を導入し、余次元2の完全測地的部分代数を実現する。
• 部分代数による直交補空間の不変性を分析し、次元の上限を導出する。
• 下部中心列の構造と中心の性質を用いて、代数内での非自明な括弧積の可能性を制約する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の計量Lie代数は、少なくとも1次元の完全測地的部分代数（すなわち測地的元）を含むか？
• RQ2 フィルフォルムノルム的Lie代数は、余次元2の完全測地的部分代数を含むことができるか？ もしそうならば、内積にどのような条件が必要か？
• RQ3 フィルフォルムノルム的Lie代数において、直交補空間に関して不変な完全測地的部分代数の最大次元は何か？
• RQ4 任意の内積に対して、次元が3以上の完全測地的部分代数を持たないフィルフォルムLie代数は存在するか？
• RQ5 特定のノルム的Lie代数において、高次元の完全測地的部分代数の存在を妨げる構造的障害は存在するか？

主な発見

• すべての計量Lie代数は、少なくとも1本の測地的直線（1次元完全測地的部分代数）を含み、これはKaićerの定理の新たな証明を提供する。
• 特定の内積を備えた標準的フィルフォルムノルム的Lie代数において、余次元2の完全測地的部分代数が存在する。
• 他のすべてのフィルフォルムLie代数では、余次元2の完全測地的部分代数は存在せず、この構成が一意的であることが示される。
• フィルフォルムノルム的Lie代数において、直交補空間に関して不変な完全測地的部分代数の次元は、元の代数の次元の半分以下である。
• 任意の内積に対して、次元が3以上の完全測地的部分代数を持たない6次元のフィルフォルムノルム的Lie代数が存在する。
• 下部中心列と代数の中心の構造が、可能な括弧積を制限し、奇数次元の場合に構造定数の消滅条件を導き、括弧関係式におけるゼロ係数の存在を強制する。