[論文レビュー] Tournament quasirandomness from local counting

Matija Bucić, Eoin Long+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 22, 2019

Advanced Graph Theory Research参考文献 30被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、大きなトーナメント T における1つの h 頂点トーナメント H の局所的カウントが、T が準ランダムであることを強制するかを分析することによって、トーナメントの準ランダム性を調査する。非推移的 H のグローバルカウントは準ランダム性を意味しないが、定数割合のトーナメントは局所的強制的である—つまり、それらの局所的カウントが唯一に準ランダム性を特徴付ける—一方で、局所的強制的であるのは強準ランダムなトーナメントに限られる。主な貢献は、次数カウント多項式と確率的構成を用いた局所的強制的トーナメントの構造的特徴付けである。

ABSTRACT

A well-known theorem of Chung and Graham states that if $h\geq 4$ then a tournament $T$ is quasirandom if and only if $T$ contains each $h$-vertex tournament the "correct number" of times as a subtournament. In this paper we investigate the relationship between quasirandomness of $T$ and the count of a single $h$-vertex tournament $H$ in $T$. We consider two types of counts, the global one and the local one. We first observe that if $T$ has the correct global count of $H$ and $h \geq 7$ then quasirandomness of $T$ is only forced if $H$ is transitive. The next natural question when studying quasirandom objects asks whether possessing the correct local counts of $H$ is enough to force quasirandomness of $T$. A tournament $H$ is said to be locally forcing if it has this property. Variants of the local forcing problem have been studied before in both the graph and hypergraph settings. Perhaps the closest analogue of our problem was considered by Simonovits and Sós who looked at whether having "correct counts" of a fixed graph $H$ as an induced subgraph of $G$ implies $G$ must be quasirandom, in an appropriate sense. They proved that this is indeed the case when $H$ is regular and conjectured that it holds for all $H$ (except the path on 3 vertices). Contrary to the Simonovits-Sós conjecture, in the tournament setting we prove that a constant proportion of all tournaments are not locally forcing. In fact, any locally forcing tournament must itself be strongly quasirandom. On the other hand, unlike the global forcing case, we construct infinite families of non-transitive locally forcing tournaments.

研究の動機と目的

• トーナメント T における1つの h 頂点トーナメント H の局所的カウントが、T が準ランダムであることを意味するかを特定すること。
• 局所的強制的である、すなわち局所的カウントによって準ランダム性を強制するトーナメント H を特徴付けること。
• グローバル強制と対比し、非推移的 H のグローバルカウントが準ランダム性を意味しないことを示すこと。
• 次数カウント多項式と確率的トーナメントモデルを用いて、局所的強制的トーナメントの構造的特徴付けを確立すること。
• 多項式の根の特定と計算複雑性を用いた、局所的強制のアルゴリズム的決定可能性を調査すること。

提案手法

• 局所的強制を、トーナメント T が、ランダムトーナメントと同一の H の局所的カウントを持つとき、かつそのときに限り準ランダムであるという性質として定義する。
• 正則性補題を用いて局所的カウントを分析し、局所的強制のための H の構造的制約を導出する。
• H の頂点 a-組におけるエッジ数の分布を符号化する次数カウント多項式 q_{H,a}(x) を導入する。
• ほぼ正則トーナメント上の確率的分布を用いて、非推移的局所的強制的トーナメントの無限族を構成する。
• 局所的強制問題を、特定のスケーリングされた次数カウント多項式が (0,1] 内に共通の根を持つかどうかをチェックすることに還元する。
• コーシー・シュワーツの不等式とエッジ数の推定を用いて、局所的カウントの一致のための頂点次数の不均衡に関する必要条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのトーナメント H が局所的強制的であるか、すなわち、その局所的カウントがトーナメント T における準ランダム性を一意に特徴付けるか？
• RQ2 非推移的トーナメントは局所的強制的になり得るか？ もし可能ならば、それらが持つ構造的性質は何か？
• RQ3 1つの非推移的 H のグローバルカウントが、T における準ランダム性を強制するのに十分か？ もし不十分ならば、その理由は何か？
• RQ4 局所的強制と H の次数カウント多項式構造の関係は何か？
• RQ5 次数カウント多項式の係数を用いて、局所的強制性を多項式時間で決定できるか？

主な発見

• すべてのトーナメントの定数割合は局所的強制的でないため、局所的強制はまれで構造的性質を持つことが示された。
• 局所的強制的である任意のトーナメントは、自身が強準ランダムでなければならない。つまり、ランダムトーナメントと同じグローバル準ランダム性条件を満たす必要がある。
• 非推移的トーナメントの無限族が局所的強制的であることが構成され、推移性は局所的強制の必要条件でないことが示された。
• トーナメント H が局所的強制的であるための必要十分条件は、H が同時に T_clique-forcing かつ T_bip-forcing であることである。これにより、構造的二分岐が得られた。
• 局所的強制性は、スケーリングされた次数カウント多項式が (0,1] 内に共通の根を持つかどうかをチェックすることに還元可能であり、これによりアルゴリズム的道筋が得られた。
• Tr_3 や C_3 のような小さなトーナメントについては、次数不均衡とコーシー・シュワーツ推定を用いて直接的に局所的強制性を検証でき、その局所的強制性が確認された。