[論文レビュー] Toward a Gravitation Theory in Berwald--Finsler Space

Xin Li, Zhe Chang|ArXiv.org|Nov 13, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 1被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、チェーン接続とバイアッキー恒等式を用いたベルワルド＝フィンスラー空間における重力理論を提案し、非対称な幾何的場方程式を導出し、局所ローレンツ対称性の自発的破れを示唆する。ランダース型ベルワルド空間に対して非自明な解が得られ、定数ベクトル場を伴う5次元宇宙論的モデルが提示され、一般相対性理論を超えたローレンツ対称性破れ重力理論としてのフィンスラー幾何学の有効性が示された。

ABSTRACT

Finsler geometry is a natural and fundamental generalization of Riemann geometry. The Finsler structure depends on both coordinates and velocities. It is defined as a function on tangent bundle of a manifold. We use the Bianchi identities satisfied by Chern curvature to set up a gravitation theory in Berwald-Finsler space. The geometric part of the gravitational field equation is nonsymmetric in general. This indicates that the local Lorentz invariance is violated. Nontrivial solutions of the gravitational field equation are presented.

研究の動機と目的

• ベルワルド＝フィンスラー幾何学における一般相対性理論の一般化として、重力場理論を構築すること。
• フィンスラースペーストの局所ローレンツ対称性の破れが及える影響を調査すること。
• 特にランダース型幾何におけるベルワルド＝フィンスラー空間における重力場方程式の非自明な解を構成すること。
• リーマン幾何を超えた一貫性のある重力理論を構築するにあたり、チェーン接続および曲率の役割を明らかにすること。

提案手法

• フィンスラー多様体上のねじれのないチェーン接続を用いて、フィンスラー計量と整合する標準的な線形接続を定義する。
• チェーン曲率の第一および第二バイアッキー恒等式を適用し、ベルワルド＝フィンスラー空間における場方程式を導出する。
• 幾何的項が一般に非対称である形式の重力場方程式 $ R_{jl} - \frac{1}{2}g_{jl}S + \left\{ \frac{1}{2}B^{k}_{kjl} + B^{k}_{jlk} \right\} = 8\pi G T_{jl} $ を導出する。
• ベルワルド条件 $ P^i_{jkl} = 0 $ を課すことにより、曲率が $ hh $-成分に限定され、場方程式が簡略化される。
• ロバートソン＝ウォーカー計量と定数1次形式 $ \tilde{b}_i $ を用いて、4次元および5次元のベルワルド型ランダース空間における明示的解を構成する。
• ベルワルド空間では、測地線スプラウ係数およびチェーン接続が、基礎となるリーマン計量 $ \tilde{a}_{ij} $ のリーマン接続に還元されることを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チェーン接続および曲率を用いて、ベルワルド＝フィンスラー幾何学における一貫性のある重力場理論をどのように定式化できるか。
• RQ2 場方程式の非対称な幾何的項が局所ローレンツ対称性に与える影響は何か。
• RQ3 ベルワルド＝フィンスラー空間、特に宇宙論的状況において、重力場方程式の非自明な解を構成できるか。
• RQ4 ランダース型ベルワルド空間では場方程式はどのように簡略化されるのか。また、ベクトル場 $ \tilde{b}_i $ は解の生成にどのような役割を果たすか。

主な発見

• ベルワルド＝フィンスラー空間における重力場方程式の幾何的項は一般に非対称であり、局所ローレンツ対称性の自発的破れを示唆する。
• 場方程式は $ R^{i}_{jl} - \frac{1}{2}g^{i}_{l}S + \left\{ \frac{1}{2}B^{k}_{kjl} + B^{k}_{jlk} \right\} = 8\pi G T_{jl} $ に簡略化され、エネルギー運動量テンソル $ T_{jl} $ が一般に非対称である可能性がある。
• ランダース型ベルワルド空間では、測地線スプラウ係数およびチェーン接続が、基礎となるリーマン計量 $ \tilde{a}_{ij} $ のリーマン接続に還元され、力学が単純化される。
• 定数 $ c $ を伴う非自明な5次元解が得られ、$ \tilde{a}_{ij} = \text{diag}(1, -a^2(t)/(1-kr^2), -a^2(t)r^2, -a^2(t)r^2\sin^2\theta, 0) $ および $ \tilde{b}_i = \{0,0,0,0,c\} $ である。
• ベルワルド型ランダース空間では、$ \tilde{b}_{i|j} = 0 $ が成り立ち、リーマンのクリスティオーベル記号と整合性を持つ。
• 制約 $ \dot{a}^2 + k = 0 $ の下で、ロバートソン＝ウォーカー計量を用いた4次元の解が場方程式に存在し、この枠組み内での一貫性のある宇宙論的モデルが示された。