[論文レビュー] Toward computing sensitivities of average quantities in turbulent flows

Nisha Chandramoorthy, Zhong-Nan Wang+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 6, 2019

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、従来のアドジョイント法が失敗する、カオス的乱流流れにおける統計的平均の感度を計算するための Space-Split Sensitivity (S3) アルゴリズムを導入する。安定および不安定な寄与を分割し、Koopman接線解を用いたエルゴディック平均を適用することで、証明可能に収束する、計算的に効率的な感度解析が可能となり、低次元のカオス的写像において有限差分法の結果と良好な一致を示した。

ABSTRACT

Chaotic dynamical systems such as turbulent flows are characterized by an exponential divergence of infinitesimal perturbations to initial conditions. Therefore, conventional adjoint/tangent sensitivity analysis methods that are successful with RANS simulations fail in the case of chaotic LES/DNS. In this work, we discuss the limitations of current approaches, including ensemble-based and shadowing-based sensitivity methods, that were proposed as alternatives to conventional sensitivity analysis. We propose a new alternative, called the space-split sensitivity (S3) algorithm, that is computationally efficient and addresses these limitations. In this work, the derivation of the S3 algorithm is presented in the special case where the system converges to a stationary distribution that can be expressed with a probability density function everywhere in phase-space. Numerical examples of low-dimensional chaotic maps are discussed where S3 computation shows good agreement with finite-difference results, indicating potential for the development of the method in more generality.

研究の動機と目的

• LES/DNSのようなカオス的流れにおける統計的平均の感度を計算する際、従来のアドジョイントおよび接線法が失敗することを解決すること。
• アンサンブルベースの手法の限界（不安定性による分散の無限大化）と、シャドウイングに基づく手法の限界（正しい平均情報が捉えられない可能性）を克服すること。
• 統計的に定常な挙動を示すカオス的力学系における、計算的に効率的で、証明可能に収束する感度解析手法を開発すること。
• 航空音響学やターボマシン設計などの高精度乱流シミュレーションにおいて、勾配ベース最適化と不確実性評価を可能にすること。

提案手法

• 軌道に沿った接空間分解を用いて、感度を安定および不安定な寄与に分割する。
• 非カオス的系と同様に、標準的な接線/アドジョイント方程式を用いて安定寄与を計算する。
• 部分積分と流れのエルゴディック性を用いて、不安定な接線解に依存しない形に不安定寄与を変換する。
• Koopman接線方程式の解を用いて、単一の軌道上のエルゴディック平均として不安定寄与を計算する。
• 安定寄与には有限サンプル平均のみを適用するが、不安定寄与は位相空間のエルゴディック性を用いて解析的に取り扱う。
• 滑らかな確率密度の存在を仮定した簡単化された状況で手法を適用し、その後、SBR型測度（例：ソレノイドおよびKuznetsov-Plykin写像）を有する系へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カオス的系における接線およびアドジョイント方程式の悪条件性を回避できる感度手法を開発できるか？
• RQ2 不安定な接線解に依存せずに、感度の不安定寄与をどのように計算できるか？
• RQ3 不安定寄与を、エルゴディック性の下で収束する有限サンプル平均として表現できるか？
• RQ4 不変測度が特異的（例：SBR測度）である系において、S3アルゴリズムが正確な感度を生成するか？
• RQ5 大規模アンサンブルを必要とせずに、有限差分法と同等の収束性と精度を達成できるか？

主な発見

• ソレノイド写像において、S3アルゴリズムはアトラクター上での100億サンプルのモンテカルロ法と良好に一致する感度を生成した。
• ソレノイド写像において、S3は安定および不安定寄与の両方を正確に捉えており、$s_1$および$s_2$への摂動が正しい感度パターンをもたらした。
• Kuznetsov-Plykin写像において、S3の感度は$ heta$および$ ho$方向のノード基底関数に沿って有限差分法の結果と一致し、手法の頑健性を検証した。
• 非滑らかな不変測度（SBR型）を有する系に対しても、S3は正常に処理でき、滑らかな密度を超えた広範な応用可能性を示唆した。
• アンサンブルベース手法の不安定性と高分散、シャドウイング手法の軌道依存性を回避し、安定的かつ効率的な代替手法を提供した。
• Koopman接線解の使用により、不安定寄与の解析的取り扱いが可能となり、高次元流れへの計算的実行可能性が確保された。