[論文レビュー] Toward resolution of singularities over a field of positive characteristic (The Idealistic Filtration Program) Part II. Basic invariants associated to the idealistic filtration and their properties

Hiraku Kawanoue, Kenji Matsuki|arXiv (Cornell University)|Dec 1, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、正標数における理想的フィルトレーションプログラムの基礎的不変量であるσおよびμ̃を確立し、それらの上半連続性を証明するとともに、μ̃を初期項の観点から解釈するべきべき級数展開を構成する。これらの不変量は、R-飽和に依存しない正標数における特異点の解消アルゴリズムの根幹をなしており、特異点の解消を実現する。

ABSTRACT

This is Part II of the series of our papers under the title "Toward resolution of singularities over a field of positive characteristic (The Idealistic Filtration Program)". See http://arxiv.org/abs/math/0607009 for Part I.

研究の動機と目的

• 正標数におけるD-飽和な理想的フィルトレーションのための不変量σを定義し、その性質を研究すること。
• べき級数展開を用いて定義される不変量μ̃を導入し、その性質を分析すること。
• 解消アルゴリズムの構成に不可欠な、対(σ, μ̃)の上半連続性を証明すること。
• アルゴリズム的実装の基盤を築くために、重要な不変量を特徴づけること。
• R-飽和を排除し、D-飽和のみに依存するプログラムにすることの可能性を検討し、終了性の問題を解決すること。

提案手法

• 点における理想的フィルトレーションの先頭代数に関連する整数列としてσを定義すること。
• フィルトレーションに関する関数のべき級数展開を導入し、その係数を対数的微分作用素から得ること。
• D-飽和の文脈において、べき級数展開の存在および一意性を証明すること。
• 係数とフィルトレーションに関する零点の位数を関連付ける「形式的係数補題」を確立すること。
• μ̃をべき級数展開における定数項の位数として定義し、局所座標の選び方に依存しないこと。
• べき級数展開を用いてμ̃を関数がフィルトレーションに関して零点の位数として解釈可能にする。これによりアルゴリズム的利用が可能になる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正標数におけるD-飽和な理想的フィルトレーションに対して、不変量σはどのように定義され、計算可能か？
• RQ2 べき級数展開は、不変量μ̃を特徴づけるために果たす役割は何か？
• RQ3 対(σ, μ̃)の上半連続性は、解消アルゴリズムにおける吹き上げ中心の構成をどのように支援するか？
• RQ4 不変量μ̃は、局所座標や生成元の選び方に依存せずに定義可能か？
• RQ5 R-飽和を必要とせず、D-飽和のみに依存する解消アルゴリズムを構築することは可能か？

主な発見

• 不変量σはスペクトル上でwell-definedであり、特殊化に関して安定しているため、上半連続である。
• D-飽和の下で、関数のフィルトレーションに関するべき級数展開は存在し、一意的である。これにより初期項の精密な解析が可能になる。
• 不変量μ̃はべき級数展開における定数項の位数に等しく、幾何的解釈が可能である。
• 対(σ, μ̃)は上半連続であり、解消アルゴリズムにおける吹き上げ中心の定義に不可欠な性質である。
• 形式的係数補題により、べき級数における最低次の項の係数はwell-definedであり、座標変換に対して不変である。
• 付録ではR-飽和が不要である可能性が示唆されており、正標数における終了性問題の解決への道筋が示唆されている。