[論文レビュー] Toward the mechanics of fractal materials: mechanics of continuum with fractal metric

Alexander S. Balankin|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2014

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 139被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、自己相似的・スケール不変構造を有する異種材料の運動および応力解析に、フラクタル計量を導入することで、フラクタル材料の連続体力学的枠組みを構築する。本研究では、フラクタル連続体におけるコーシー応力テンソルの対称性を確立し、弾性フラクタルバーにおける応力・ひずみ分布を導出し、フラクタル微細構造の相関が、計量的性質と位相的性質の相互作用に応じて亀裂の発生・拡大を遅らせるか促進するかの両方が可能であることを明らかにする。

ABSTRACT

This paper is devoted to the mechanics of fractal materials. A continuum framework accounting for the topological and metric properties of fractal domains in heterogeneous media is developed. The kinematics of deformations is elucidated and the symmetry of the Cauchy stress tensor is established. The mapping of mechanical problems for fractal materials into the corresponding problems for the fractal continuum is discussed. Stress and strain distributions in elastic fractal bars are analyzed. Some features of acoustic wave propagation and localization in scale-invariant media are briefly discussed. The effect of fractal correlations in the material microstructure on the crack mechanics is revealed. It is shown that the fractal nature of heterogeneity can either delay or assist the crack initiation and propagation, depending on the interplay between metric and topological properties of the fractal domain.

研究の動機と目的

• 異種材料のフラクタル領域の位相的性質および計量的性質を考慮する連続体力学的枠組みを確立すること。
• フラクタル微細構造を有する材料における変形の運動学的記述を構築すること。
• フラクタル幾何学が弾性媒質における応力分布・波動伝播・亀裂力学に与える影響を調査すること。
• フラクタル材料における機械的問題を、非ユークリッド計量を持つフラクタル連続体における同等の問題に変換すること。
• フラクタル微細構造の相関が亀裂の発生・拡大を抑制するか促進するかの条件を特定すること。

提案手法

• 自己相似的・スケール不変構造を有する異種媒質の幾何的性質を記述するため、フラクタル計量を導入する。
• フラクタル次元を有する連続体における変形の運動学を、古典的ひずみおよび変位場を一般化することで導出する。
• 変分原理と幾何的整合性を用いて、フラクタル連続体におけるコーシー応力テンソルの対称性を確立する。
• 非整数次元を有するフラクタルバーにおける弾性応力・ひずみ分布を、本フレームワークを用いて解析する。
• フラクタル計量から導出された修正された波動方程式を用いて、スケール不変媒質における音響波動伝播を調査する。
• エネルギー基準を用いた亀裂発生・拡大の基準を適用し、微細構造におけるフラクタル相関を組み込んだ亀裂力学を解析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 フラクタル幾何学および非整数次元性を有する連続体における変形の運動学をどのように一般化できるか？
• RQ2 フラクタル計量が、異種材料におけるコーシー応力テンソルの対称性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ3 弾性フラクタルバーにおける応力・ひずみ分布は、古典的連続体とはどのように異なるか？
• RQ4 微細構造におけるフラクタル相関が、亀裂拡大ダイナミクスにどのように影響を与えるか？
• RQ5 フラクタル計量特性を有する媒質において、波動の局在化および伝播挙動はどのように変化するか？

主な発見

• 非ユークリッド幾何学であるにもかかわらず、フラクタル連続体においてもコーシー応力テンソルは対称性を保ち、基本的な機械的対称性が維持される。
• フラクタル計量の影響により、弾性フラクタルバーにおける応力・ひずみ分布は非一様かつスケール不変なパターンを示し、古典的線形弾性とは乖離する。
• スケール不変媒質における音響波動伝播は、フラクタル次元および計量構造に依存した局在化効果を示す。
• フラクタル微細構造の相関は、計量的性質と位相的性質のバランスに応じて、亀裂の発生・拡大を遅らせるか促進するかの両方が可能である。
• 提案されたフレームワークにより、実際のフラクタル材料における機械的問題を、明確に定義されたフラクタル連続体における同等問題に変換可能である。
• モデルは、不均一性のフラクタル性が、破壊的材料におけるエネルギー解放および亀裂経路選択を根本的に変えることを明らかにする。