[論文レビュー] Towards a Background Independent Quantum Gravity in Eight Dimensions

J. A. Nieto|ArXiv.org|Apr 20, 2007

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 4被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、八次元におけるアシュテカールの自己双対形式を用い、$η$-記号を介してオクトン形式を活用することで、背景に依存しない量子重力の枠組みを提案する。自己双対性の定義に八次元における$η$-記号を用いる。八次元重力における正準拘束を構築し、$SO(8) = S^7_R \times S^7_L \times G_2$対称性の破れが中心的役割を果たすことを特定し、ウィルソンループとチェーン＝サイモンズ型位相的項に類似する手法を通じて量子状態への道筋を提示する。

ABSTRACT

We start a program of background independent quantum gravity in eight dimensions. We begin by considering canonical gravity extit{a la} "Kaluza-Klein" in $D=d+1$ dimensions. We show that our canonical gravity approach can be applied to the case of self-dual gravity in four dimensions. Further, by using our previously proposed classical action of Ashtekar self-dual gravity formalism in eight dimensions, we proceed to develop the canonical approach in eight dimensions. Our construction considers different SO(8) symmetry breakings. In particular, the breaking $SO(8)=S_{R}^{7}% imes S_{L}^{7} imes G_{2}$ plays an important role in our discussion.

研究の動機と目的

• 四次元を超えた背景に依存しない量子重力の拡張を、八次元における正準重力のアプローチとして実現すること。
• 四次元を超える双対性の一般化として、$η$-記号を用いた八次元におけるアシュテカールの自己双対形式の適用。
• 八次元における自己双対重力の実現に不可欠な、$SO(8) = S^7_R \times S^7_L \times G_2$の対称性の破れの役割の解明。
• 八次元設定における正準拘束（微分同相不変性およびハミルトニアン拘束）の導出。
• 八次元におけるウィルソンループ波関数とチェーン＝サイモンズ状態に類似した位相的項を用いた物理的量子状態の構築プログラムの出発点の確立。

提案手法

• 時間的ベクトル場を用いない、$D = d+1$次元における正準重力の定式化のためのカルツァ＝クライン型還元を用いる。
• 四次元における$\varepsilon$-記号に類似した八次元における四階反対称テンソルである$η$-記号を導入することで、八次元におけるアシュテカール形式を適用する。
• 自己双対曲率を$^+R^{AB} = \frac{1}{4}(R^{AB} + \,^*R^{AB})$として定義し、双対性は$η$-記号を用いて構築する。
• $SO(8)$対称性の破れ$SO(8) = S^7_R \times S^7_L \times G_2$が、八次元における自己双対構造の実現に不可欠であると特定する。
• 四次元における自己双対重力の手法を拡張することで、八次元における正準拘束（微分同相不変性およびハミルトニアン拘束）を導出する。
• 量子状態は、四次元の場合と同様に、ウィルソンループ波関数$\Psi_\gamma(A) = \text{tr} P\exp\int_\gamma A$を用いて構築可能であると提唱する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 オクトンの一般化された双対性を用いて、八次元における自己双対重力は一貫して定式化可能か？
• RQ2 $SO(8) = S^7_R \times S^7_L \times G_2$の$SO(8)$対称性の破れは、八次元重力の正準構造にどのように影響を与えるか？
• RQ3 $η$-記号による双対性を用いることで、ハミルトニアン拘束における問題視されるスカラー曲率ポテンシャルを八次元で回避できるか？
• RQ4 八次元におけるアシュテカール形式における正準拘束（微分同相不変性およびハミルトニアン拘束）は何か？
• RQ5 この枠組みにおいて物理的量子状態を構築可能であり、それらは八次元におけるチェーン＝サイモンズ型位相的項とどのように関係するか？

主な発見

• 八次元における$η$-記号は、四次元における$\varepsilon$-記号と類似した双対性構造を可能にし、$^+R^{AB} = \frac{1}{4}(R^{AB} + \,^*R^{AB})$として自己双対曲率を定義可能である。
• 八次元重力における正準拘束（微分同相不変性およびハミルトニアン拘束）が導出され、四次元におけるアシュテカールプログラムの拡張が実現された。
• $SO(8) = S^7_R \times S^7_L \times G_2$の対称性の破れは、八次元における自己双対重力の実現に不可欠であることが特定され、四次元における$SO(4) = S^3 \times S^3$と類似している。
• 量子拘束はウィルソンループ波関数$\Psi_\gamma(A) = \text{tr} P\exp\int_\gamma A$によって解けることが示され、四次元の場合と類似している。
• 物理的量子状態の可能性として、$G_2$-インスタントンと関連する八次元におけるチェーン＝サイモンズ型位相的項$\int_{M^4} \text{tr} \, \eta^{\mu\nu\alpha\beta} F_{\mu\nu} F_{\alpha\beta}$が示唆された。
• $\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}$および$\eta^{\mu\nu\alpha\beta}$をランク4のチロトープとして特定することにより、マトロイド理論とアシュテカール形式との間の可能性ある接続が示唆された。