[論文レビュー] Towards A Categorical Approach of Transformational Music Theory

Alexandre Popoff|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2012

Neuroscience and Music Perception参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、カテゴリー拡張と群ガロワ（groupoids）を用いて、変形的音楽理論のためのカテゴリカルな枠組みを導入し、ネオ＝リーマン変換の一般化を可能にし、部分的で逆写像が存在しない、および異なる基数のコード間の変換を扱えるようにする。この枠組みにより、標準的な wreath 群がカテゴリー内での合成として回復され、多様な変換システムが単一の代数的構造に統合される。

ABSTRACT

Transformational music theory mainly deals with group and group actions on sets, which are usually constituted by chords. For example, neo-Riemannian theory uses the dihedral group D24 to study transformations between major and minor triads, the building blocks of classical and romantic harmony. Since the developments of neo-Riemannian theory, many developments and generalizations have been proposed, based on other sets of chords, other groups, etc. However music theory also face problems for example when defining transformations between chords of different cardinalities, or for transformations that are not necessarily invertible. This paper introduces a categorical construction of musical transformations based on category extensions using groupoids. This can be seen as a generalization of a previous work which aimed at building generalized neo-Riemannian groups of transformations based on group extensions. The categorical extension construction allows the definition of partial transformations between different set-classes. Moreover, it can be shown that the typical wreath products groups of transformations can be recovered from the category extensions by "packaging" operators and considering their composition.

研究の動機と目的

• ネオ＝リーマン理論における制限、たとえば逆写像が存在しない変換や、異なる基数のコード間の変換を解消すること。
• 既存の群ベースの変換システムを、それらをカテゴリー的枠組みへ拡張することで一般化すること。
• 可逆な変換と部分的変換の両方を含む、音楽的セットクラス間の変換を統合的に扱える代数的構造を提供すること。
• 変形的音楽理論で用いられる既知の変換群（たとえば wreath 群）を、提案されたカテゴリー拡張フレームワーク内の合成として回復すること。

提案手法

• 論文は、群ガロワの拡張を用いて、コード間の部分的かつ非可逆的写像を許容する音楽的変換のカテゴリーを構築する。
• 以前の群拡張法を拡張し、異なる基数のコード間の変換をモデル化するため、カテゴリー的枠組みに埋め込む。
• カテゴリー論的合成を用いて演算子の系列をモデル化し、wreath 群のような標準的変換群を回復する。
• 群ガロワをセットクラス間の変換を表現するために用い、射が変換およびその適用可能領域を符号化する。
• 可逆性の要件や全定義域のカバーを緩和することで、ネオ＝リーマン操作の一般化を実現する。
• カテゴリー的構造により、変換演算子の体系的包装と合成が可能となり、代数的整合性が保たれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、異なる基数のコード間の非可逆的かつ部分的変換を含むように、変形的音楽理論を一般化できるか？
• RQ2 変形的音楽理論で用いられる標準的な wreath 群が、より基本的なカテゴリー的構造から導出可能か？
• RQ3 定義域制限や非可逆性が生じる際、音楽的変換の合成を最もよく捉える代数的構造は何か？
• RQ4 群ガロワに基づく拡張は、現実の和音進行をモデル化する際、従来の群ベースのモデルに比べてどのように改善されるか？
• RQ5 カテゴリー拡張は、どのようにして多様な変換システムを単一の理論的枠組みに統合するか？

主な発見

• 提案されたカテゴリー拡張フレームワークは、異なる基数のコード間の部分的かつ非可逆的変換を効果的にモデル化でき、古典的な群ベースのアプローチの主要な限界を克服した。
• このフレームワークは、以前の群拡張法をカテゴリー的構造に埋め込むことで一般化し、合成と定義域の指定をサポートする。
• wreath 群のような標準的変換群が、カテゴリー内での演算子の合成として回復され、既存理論と整合的であることが示された。
• 群ガロワの使用により、射が変換とその有効な定義域を両方符号化するという、より洗練された変換表現が可能になった。
• カテゴリー的構造により、非可逆的または制限付き写像を含む多様な変換システムを統合的に扱える統一的フレームワークが提供された。