[論文レビュー] Towards a characterization of Markov processes enjoying the time-inversion property

Stephan Lawi|ArXiv.org|Jun 1, 2005

Spectral Theory in Mathematical Physics被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^n$ 上の同次マルコフ過程が次数 $\alpha$ の時間反転性を有するための必要十分条件を提示する。この条件は、同次性およびスケーリング性を有する関数 $\Phi$、$\theta$、$\rho$ を含む特定の形の半群密度によって特徴づけられる。結果として、Bessel過程やDunkl過程といった既知の過程が一般化されるとともに、新しい行列値のジャンプ過程（非対称Wishart過程）が導入され、時間反転性を満たすことが示された。

ABSTRACT

We give a necessary and sufficient condition for a homogeneous Markov process taking values in $\R^n$ to enjoy the time-inversion property of degree $α$. The condition sets the shape for the semigroup densities of the process and allows to further extend the class of known processes satisfying the time-inversion property. As an application we recover the result of Watanabe in \cite{Wa1975} for continuous and conservative Markov processes on $\R_+$. As new examples we generalize Dunkl processes and construct a matrix-valued process with jumps related to the Wishart process by a skew-product representation.

研究の動機と目的

• 同次マルコフ過程が $\mathbb{R}^n$ 上で次数 $\alpha$ の時間反転性を有するものすべてを特徴づけること。
• 時間反転に対する不変性を満たす半群密度の必要十分条件を提供すること。
• 拡散過程にとどまらず、ジャンプを伴う過程や行列値のパスをとる過程を含む、この性質を有する過程のクラスを拡張すること。
• Watanabeの $\mathbb{R}_+$ 上の拡散過程に関する結果を、新しい特徴づけを用いて回復すること。
• 非対称積表現を用いて、非対称Wishart過程のような新しい例を構成すること。

提案手法

• 元の半群密度 $p_t(x,y)$ を用いて、時間反転過程 $t^\alpha X_{1/t}$ の遷移密度を導出する。
• Doobの $h$-変換を用いて、時間反転過程を保存する変換を同定し、過程の同値類を導出する。
• 時間反転過程が同次性を保つような $p_t(x,y)$ の関数的形を確立する。この形には、特定の同次次数を有する $\Phi$、$\theta$、$\rho$ が含まれる。
• スケーリング条件を課す：$\Phi(\lambda x,y) = \Phi(x,\lambda y)$、$\rho(\lambda x) = \lambda^{2/\alpha}\rho(x)$、$\theta(\lambda y) = \lambda^\beta \theta(y)$。
• この形の下で、時間反転過程の半群密度が同次マルコフ過程のそれと一致することを確認する。
• Wishart過程とポアソン過程の組み合わせにより、ジャンプを伴う行列値過程（非対称Wishart過程）を構成し、時間反転条件を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 同次マルコフ過程が $\mathbb{R}^n$ 上で次数 $\alpha$ の時間反転性を有するための、半群密度に必要な十分条件は何か？
• RQ2 時間反転性を有する過程のクラスは、拡散過程にとどまらず、ジャンプ過程や行列値過程を含む形にどのように拡張できるか？
• RQ3 この特徴づけは、$\mathbb{R}_+$ 上の保守的拡散過程に関するWatanabeの結果を回復できるか？
• RQ4 Doobの $h$-変換は、時間反転ダイナミクスが等価な過程を分類するために果たす役割は何か？
• RQ5 非対称積表現は、時間反転性を有する新しい行列値過程をどのように生成できるか？

主な発見

• 本稿は、マルコフ過程が次数 $\alpha$ の時間反転性を有するための必要十分条件として、半群密度が $p_t(x,y) = t^{-n\alpha/2} \Phi(x/t^{\alpha/2}, y/t^{\alpha/2}) \theta(y/t^{\alpha/2}) \exp(\rho(x/t^{\alpha/2}) + \rho(y/t^{\alpha/2}))$ の形をとることを確立した。ここで $\Phi$、$\theta$、$\rho$ は特定の同次性条件を満たす。
• 対称性条件 $\Phi(x,y) = \Phi(y,x)$ は、時間反転半群と元の半群との間の関係を導く：$q_t^{(x)}(a,b) = \frac{\Phi(x,b)}{\Phi(x,a)} \exp(t\rho(x)) p_t(a,b)$。
• Wishart過程とポアソン過程の非対称積として構成された非対称Wishart過程は、次数 $\alpha=2$ の時間反転性を満たすことが示された。
• 一般化されたDunkl過程は、この特徴づけに適合し、既知の結果をより広いジャンプ過程のクラスへと拡張した。
• この特徴づけは、$\mathbb{R}_+$ 上の拡散過程に関するWatanabeの結果を回復し、半群密度の関数的形を用いた代替的証明を提供した。
• 非対称Wishart過程の半群密度は、超幾何関数とゾーン多項式を用いて明示的に導出され、時間反転条件と整合的であることが確認された。