[論文レビュー] Towards a Church-Turing-Thesis for Infinitary Computations

Merlin Carl|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2013

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 11被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、理想化されたエージェントの無限プロセスを形式化することで、超限計算の直感的かつ自然な概念を定式化し、それを基に無限的チャーチ＝チューリング仮説（ICTT）を提唱する。その結果、アイドルドエージェントマシン（IAMs）は順序数の計算に関して順序数チューリングマシン（OTMs）と計算的に同等であることが示された。主な結果は、IAMsがOTMsと同一の順序数上の計算可能関数のクラスを捉えていることであり、超限計算可能性が数学的推論における理想化されたエージェントに関する直感的かつ独立した基礎を持つという主張を支持する。

ABSTRACT

We consider the question whether there is an infinitary analogue of the Church-Turing-thesis. To this end, we argue that there is an intuitive notion of transfinite computability and build a canonical model, called Idealized Agent Machines ($IAM$s) of this which will turn out to be equivalent in strength to the Ordinal Turing Machines defined by P. Koepke.

研究の動機と目的

• 古典的チャーチ＝チューリング仮説に類似した、超限計算可能性の直感的かつ自然な概念が存在するかを調査すること。
• 無限プロセスを実行する理想化されたエージェントに基づく計算モデルを用いて、この直感的概念を形式化すること。
• 得られたモデル、すなわちアイドルドエージェントマシン（IAMs）が、OTMs や ORMs といった既存の超限モデルと同一の順序数上の計算可能関数のクラスを捉えていることを示すこと。
• OTM、ORM、IAM といった異なる超限マシンモデルが同じ計算可能関数のクラスを生成することを示し、それらの等価性が超限計算可能性の整合的で基礎的な概念を支持することを主張すること。
• 数学的実践と理想化された推論に基づいた、無限的チャーチ＝チューリング仮説（ICTT）の候補を提示すること。

提案手法

• 哲学的アイデアに基づき、無限でルールに従ったプロセスを実行する理想化されたエージェントを想定し、それを基に形式的計算モデル「アイドルドエージェントマシン（IAMs）」を構築する。
• IAM の挙動を順序数でインデックスされた状態の列としてモデル化し、状態遷移を決定的プログラムと、極限段階での論理式評価に用いる有界な真偽述語によって定義する。
• 構成可能宇宙 $L$ における定義可能性を用いて IAMs の計算的パワーを特徴づけ、IAM で計算可能な順序数の集合は、$L$ に属する集合にちょうど一致することを示す。
• $L$-定義可能な関数と真偽述語を用いて状態列と遷移ルールを符号化することで、IAMs が OTM の計算をシミュレートできることを確立する。
• 逆方向の包含を示すために、三テープシミュレーション技術を用い、一つのテープに状態列を格納し、もう一つのテープで計算を実行することで、OTM の計算を IAMs がエミュレートできることを証明する。
• 特に、有限個のパラメータから順序数の集合が OTM で計算可能であるのは、$L$ に属するときであり、かつそのときのみである、というコープケの OTM 理論の既知の結果を活用し、IAMs と OTMs の等価性を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 形式的マシンモデルとは独立して、超限計算可能性の自然で直感的な概念が存在するか？
• RQ2 この直感的概念が、既存の超限モデルと同一の関数クラスを捉える、明確な計算モデルとして形式化可能か？
• RQ3 異なる超限マシンモデル（例：OTM、ORM、IAM）が、順序数上の計算可能関数の同一のクラスを生成するか？
• RQ4 これらのモデルの等価性は、理想化された計算に関する哲学的または認知的概念によって正当化可能か？
• RQ5 得られたモデルが、古典的 CTT に類似した整合的な無限的チャーチ＝チューリング仮説（ICTT）を支持するか？

主な発見

• 有限個の順序数パラメータから計算可能なアイドルドエージェントマシン（IAMs）による順序数の集合のクラスは、順序数の構成可能集合にちょうど一致する。
• IAMs は順序数チューリングマシン（OTMs）と計算的に同等である：関数 $f: On \to On$ が IAM で計算可能であることは、パラメータなしで OTM で計算可能なことと同値である。
• IAMs の計算的パワーは、構成可能宇宙 $L$ における定義可能性によって完全に特徴づけられ、IAM で計算可能な集合は、$L$ に属する集合にちょうど一致する。
• IAMs による OTM の計算シミュレーションは、状態列を符号化し、極限段階での次状態計算に真偽述語を用いる三テープ構成によって可能である。
• IAMs と OTMs の等価性は、数学的推論における理想化されたエージェントに関する自然で直感的な超限計算可能性の概念の存在を支持する。
• 本論文は、無限的チャーチ＝チューリング仮説（ICTT）の候補を提示する：関数 $f: On \to On$ が決定的ルールに従って理想化されたエージェントによって計算可能であることと、OTM によって計算可能であることは同値である。