[論文レビュー] Towards a classification of Lorentzian holonomy groups

Thomas Leistner|arXiv (Cornell University)|May 9, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 17被引用数 22

ひとこと要約

この論文は、非分解的かつ非既約なローレンツ多様体のホロノミー代数の SO(n)-射影が、 𝔘(n/2) に含まれるか、単純な既約成分から成る場合、その射影がリーマン的ホロノミー代数であることを証明することで、ローレンツ的ホロノミー群を分類する。この結果は、弱ベルジャ代数と実および複素リー代数の表現論を用いて、ベルジャホロノミー分類をローレンツ幾何学へ拡張するものである。

ABSTRACT

If the holonomy representation of an $(n+2)$--dimensional simply-connected Lorentzian manifold $(M,h)$ admits a degenerate invariant subspace its holonomy group is contained in the parabolic group $(\mathbb{R} imes SO(n))\ltimes \mathbb{R}^n$. The main ingredient of such a holonomy group is the SO(n)--projection $G:=pr_{SO(n)}(Hol_p(M,h))$ and one may ask whether it has to be a Riemannian holonomy group. In this paper we show that this is the case if $G\subset U(n/2)$ or if the irreducible acting components of $G$ are simple.

研究の動機と目的

• 非分解的かつ非既約なローレンツ多様体のホロノミー群を、そのホロノミー代数の SO(n)-射影を分析することによって分類すること。
• ローレンツ的ホロノミー代数の SO(n)-射影が、常にリーマン的ホロノミー代数であるかどうかを特定すること。
• 弱ベルジャ代数を導入し、分析することで、ベルジャホロノミー分類をローレンツ幾何学へ拡張すること。
• ローレンツ的ホロノミー代数が、ある構成法によってリーマン的ホロノミー代数から生じる条件を確立すること。
• 特に実および非実型の複素表現に注目して、ホロノミー代数の表現論的構造を調査すること。

提案手法

• de Rham–Wu分解定理を用いて、一意な不変光錐部分空間を持つ非分解的かつ非既約なローレンツ多様体への分類を簡略化する。
• ホロノミー代数を (ℝ × 𝔰𝔬(n)) ⋉ ℝⁿ の部分代数として分析し、特に SO(n)-射影 G = pr_{𝔰𝔬(n)}(Holₚ(M,h)) に注目する。
• 曲率条件（ベルジャ代数に類似）を満たす弱ベルジャ代数を、曲率自己準同型の空間 ℬₕ(𝔤) を用いて定義する。
• 実および複素リー代数の分類に表現論を適用し、不変形式 θ および β を用いて、実型、複素型、クaternion型に区別する。
• 実正規直交／正則的表現と複素ユニタリ／反ユニタリ表現の間の対応関係を用いて、非実型表現を分析する。
• 正定値不変形式が既約な非実型表現に存在する場合、ユニタリ性が保証され、直交性が成り立たず、対称双線形形式 β が消えることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ローレンツ的ホロノミー代数の SO(n)-射影が、どのような条件下でリーマン的ホロノミー代数となるか？
• RQ2 曲率条件 ℬₕ(𝔤) を満たす弱ベルジャ代数は、 𝔘(n/2) に含まれる場合、常にリーマン的ホロノミー代数として分類可能か？
• RQ3 SO(n)-成分の既約性および単純性が、それがリーマン的ホロノミー代数として生じるかどうかに果たす役割は何か？
• RQ4 実表現における不変形式 θ および β は、その表現の複素構造および型（実型、複素型、クaternion型）とどのように関係するか？
• RQ5 非実型表現に正定値不変双線形形式 h が存在する場合、対応する複素表現がユニタリであることを示唆するか？

主な発見

• 非分解的かつ非既約なローレンツ多様体のホロノミー代数の SO(n)-射影 G は、G ⊂ 𝔘(n/2) であればリーマン的ホロノミー代数である。
• G の既約成分がすべて単純であれば、G はリーマン的ホロノミー代数である。
• 空間 ℬₕ(𝔤) で定義される曲率条件を満たす弱ベルジャ代数は、上記の条件下でリーマン的ホロノミー代数であることが示された。
• 正定値不変形式 h を持つ既約で非実型の表現に対して、対応する複素表現はユニタリであり、直交的ではありえない。したがって β^h = 0 である。
• 非実型表現に正定値形式 h が存在する場合、対応する複素表現はユニタリであり、したがって実表現は直交的ではなく、正則的（symplectic）である。
• 実正規直交／正則的表現と複素ユニタリ／反ユニタリ表現の間の対応関係が、ヘルミート形式の実部および虚部を用いて確立された。