[論文レビュー] Towards a classification of modular compactifications of the moduli space of curves

David Ishii Smyth|ArXiv.org|Feb 21, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 17被引用数 12

ひとこと要約

本稿は、$n$-点付き種数$g$の曲線のモジュライ空間のすべての安定なモジュラーコンパクト化を分類し、滑らかな曲線の1パラメータ族に対して一意な極限をもつ変形開クラスのプリスタブル曲線の完全な組合せ的特徴付けを提供する。主な結果は、すべての有理成分が正規化において少なくとも3つの区別可能な点（マークド点または特異点）を持つことを要件とする安定性の定義に基づき、$\mathcal{V}_{g,n}$の開部分スタックとしてこのようなコンパクト化を同定することにある。$\mathcal{V}_{g,n}$は、すべての曲線のモジュライスタックの唯一の既約成分であり、$\mathcal{M}_{g,n}$を含む。

ABSTRACT

The space of smooth curves admits a beautiful compactification by the moduli space of Deligne-Mumford stable curves. In this paper, we undertake a systematic investigation of alternate modular compactifications of the space of smooth curves.

研究の動機と目的

• $n$-点付き種数$g$の曲線のモジュライ空間$\mathcal{M}_{g,n}$のすべてのモジュラーコンパクト化を、変形に対して安定で、滑らかな曲線の1パラメータ族に対して一意な極限をもつものとして分類すること。
• 古典的なデリーニ＝ムーディーのコンパクト化を拡張し、標準的なデリーニ＝ムーディーおよび擬安定の場合を一般化するすべての安定性条件を同定すること。
• すべての曲線のモジュライスタック$\mathcal{V}_{g,n}$の開部分スタックとして、代替コンパクト化を体系的に理解するフレームワークを提供すること。$\mathcal{V}_{g,n}$は$\mathcal{M}_{g,n}$を含む唯一の既約成分である。
• 曲線の正規化における有理成分ごとの区別可能な点（マークド点または特異点）の数に基づく、これらのコンパクト化の組合せ的分類を確立すること。

提案手法

• $\mathcal{U}_{g,n}$を、$\text{Spec }\mathbb{Z}$上でのすべての$n$-点付き、非特異的、連結、1次元、固有のスキームのモジュライスタックとして定義し、$\mathcal{M}_{g,n}$を含む唯一の既約成分として$\mathcal{V}_{g,n}$を特定する。
• $\mathcal{Z}$-安定性を定義し、これは正規化におけるすべての有理成分が少なくとも3つの区別可能な点（マークド点または特異点）を持つことを要件とする。
• $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(\mathcal{Z})$を、$\mathcal{V}_{g,n}$の$\mathcal{Z}$-安定曲線をパラメータ化する開部分スタックとして構成し、$\text{Spec }\mathbb{Z}$上での固有性を証明する。
• 特に$H^1(C, \mathscr{L}^m \otimes \mathfrak{m}_p^2)$のコホロロジーの消滅を用いて、線分束の次数を制御し、特異曲線の埋め込み次元を制御する。
• 射影公式と$\delta(p)$（デルタ不変量）および$r$（分岐の数）の境界を用いて、十分大きな$m$に対して$H^1$が消えることを示し、有限型パラメータ化を可能にする。
• $\mathcal{U}_{g,n,d}$（次数$d$の曲線のスタック）が$\text{Spec }\mathbb{Z}$上有限型であることを、ヒルベルトスキームと有限性結果を用いて示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかな曲線の1パラメータ族に対して一意な極限をもつ、変形開クラスのプリスタブル曲線のすべての可能なクラスは何か？
• RQ2 $\text{Spec }\mathbb{Z}$上で固有で、$\mathcal{M}_{g,n}$を余りの開部分スタックとして含む、$\mathcal{M}_{g,n}$のすべてのモジュラーコンパクト化をどのように分類できるか？
• RQ3 正規化における各有理成分ごとの区別可能な点の数に基づく、このような安定コンパクト化を分類する組合せ的条件は何か？
• RQ4 古典的なデリーニ＝ムーディー、擬安定、重み付き安定コンパクト化は、一様な分類枠組みの下で統合可能か？
• RQ5 $\mathcal{V}_{g,n}$は滑らかにできる曲線をパラメータ化し、既約コンパクト化の分類を可能にする役割を果たすか？

主な発見

• $\mathcal{M}_{g,n}$のすべての安定なモジュラーコンパクト化は、$\mathcal{V}_{g,n}$の$\mathcal{Z}$-安定な開部分スタックとして分類され、$\mathcal{Z}$-安定性は正規化におけるすべての有理成分が少なくとも3つの区別可能な点（マークド点または特異点）を持つことを要件とする。
• $g = 0$の場合、モジュライスタック$\mathcal{U}_{0,n}$は既約であり、すべての開部分スタックが分類可能であり、$\mathcal{M}_{0,n}$のモジュラーコンパクト化が完全に分類される。
• $g \geq 1$の場合、分類は$\mathcal{V}_{g,n}$の開部分スタックに限定され、$\mathcal{V}_{g,n}$は$\mathcal{U}_{g,n}$の唯一の既約成分で$\mathcal{M}_{g,n}$を含む。$\mathcal{Z}$-安定性条件が適用される。
• $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(\mathcal{Z})$が$\text{Spec }\mathbb{Z}$上固有であることが示され、それがモジュラーコンパクト化としての地位を確認する。
• $H^1(C, \mathscr{L}^m \otimes \mathfrak{m}_p^2)$のコホロロジーの消滅が、$m > 2g - 2 + 2\delta(p)r$で成立し、$\delta(p) \leq g + e - 1$および$r \leq \delta(p) + 1$を満たす。これにより、有限型パラメータ化が保証される。
• 明示的な境界$m(g,e) = 2g - 2 + 2(g+e)(g+e-1)$が、コホロロジーの消滅を保証する$m$の値として導出され、モジュライスタックの有限型被覆の構成が可能になる。