[論文レビュー] Towards a Coherent Theory of Physics and Mathematics

Paul Benioff|ArXiv.org|Jan 21, 2002

Quantum Mechanics and Applications参考文献 13被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、いかなる理論に対しても妥当性と十分な強さを保証するとともに、自身の妥当性と強さを最大限に自己記述するよう要請することで、物理学と数学の統一的で整合的な理論を提唱するフレームワークを提示する。物理的システムは、すべての言語的および数学的表現を表現しなければならず、テキストを読み取るための効率的で物理的に実装可能なルールを備えることで、量子レベルの摂動に対して堅牢性を確保する必要がある。

ABSTRACT

As an approach to a Theory of Everything a framework for developing a coherent theory of mathematics and physics together is described. The main characteristic of such a theory is discussed: the theory must be valid and and sufficiently strong, and it must maximally describe its own validity and sufficient strength. The mathematical logical definition of validity is used, and sufficient strength is seen to be a necessary and useful concept. The requirement of maximal description of its own validity and sufficient strength may be useful to reject candidate coherent theories for which the description is less than maximal. Other aspects of a coherent theory discussed include universal applicability, the relation to the anthropic principle, and possible uniqueness. It is suggested that the basic properties of the physical and mathematical universes are entwined with and emerge with a coherent theory. Support for this includes the indirect reality status of properties of very small or very large far away systems compared to moderate sized nearby systems. Discussion of the necessary physical nature of language includes physical models of language and a proof that the meaning content of expressions of any axiomatizable theory seems to be independent of the algorithmic complexity of the theory. Gödel maps seem to be less useful for a coherent theory than for purely mathematical theories because all symbols and words of any language musthave representations as states of physical systems already in the domain of a coherent theory.

研究の動機と目的

• 数学的論理を物理的原理と統合することで、物理学と数学を統合する整合的理論を構築すること。
• 理論が自身の妥当性と十分な強さを最大限に自己記述することを要請することで、物理学および数学の基礎的問題に取り組むこと。
• 言語および意味の物理的実装を検討し、意味的内容がアルゴリズム的複雑性に依存しないことを主張すること。
• 物理的および数学的宇宙が、相互に決定し合い、密接に結びついた現象として、整合的理論を通じて出現する仕組みを調査すること。
• 不完全または整合的でない候補理論を除外する基準（例：普遍的適用性および物理的実装可能性）を確立すること。

提案手法

• 一階述語論理を用いて整合的理論を公理化し、ゲーデルの定理などの数学的論理の道具を適用可能にする。
• 記号を格子上のインク分子の量子状態として物理的に表現することで言語をモデル化し、空間的位置を関数 ℓ(i) およびスケール要因で定義する。
• 語 W の量子状態を、個々の記号状態のテンソル積として定義する：ρ_W = ⨂_i ρ_α_{W(i),ℓ(i)}。
• テキストへの拡張として、位置およびスケール要因関数を用いて組織化された合成状態 ρ_Ŵ,ℓ̲ = ⨂_j ρ_Ŵ(j),ℓ̲(j) を定義する。
• 読み取りダイナミクスに物理的制約を課す：リソース使用量は記号数に多項式的にスケーリングする必要がある。これにより、効率的かつ物理的に実装可能な読み取りが保証される。
• 自由エネルギーを最小化し、指数関数的リソーススケーリングを回避するルールのみが物理的に実現可能であると主張する。これは現実世界の読み取り実践を反映している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 物理学および数学の整合的理論と非整合的候補を区別する基準は何か？
• RQ2 公理的理論の意味的内容は、そのアルゴリズム的複雑性に依存しない形で、どのように物理的に表現可能か？
• RQ3 物理的および数学的宇宙が、整合的理論を通じてどのように一体となって出現するか？
• RQ4 言語および記号的システムが長期間にわたり信頼性高く読み取られ、維持されるために必要な物理的制約は何か？
• RQ5 妥当性および強さの最大限の自己記述を要請することにより、整合的理論の候補空間はどのように制限されるか？

主な発見

• 整合的理論は、すべての定理が真である（妥当性）とともに、十分に強くて、自身の妥当性と強さを最大限に自己記述できる必要がある。これが重要な基準である。
• インク分子の格子上の量子状態としての言語の物理的表現により、記号的表現は物理的に実現可能であり、低確率の量子的摂動に対しても堅牢性を確保する。
• 記号の位置にのみ依存し、過去の記号状態に依存しない読み取りルールは、リソース使用量を多項式的スケーリングに保ち、物理的に効率的かつ実装可能である。
• モデルは、物理的表現が維持される限り、任意の公理的理論の意味的内容がそのアルゴリズム的複雑性に依存しないことを示している。
• 理論は、物理的および数学的宇宙が事前に存在するのではなく、整合的理論とともに一体となって出現し、互いに決定し合うものであるという考えを支持している。
• 読み取りルールにおける指数関数的リソーススケーリングは物理的に非現実的とされ、物理的言語システムにおける効率的で多項式時間のダイナミクスの必要性が強化される。