[論文レビュー] Towards a complete classification of 1D gapped quantum phases in interacting spin systems

Xie Chen, Zheng‐Cheng Gu+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 17, 2011

Quantum and electron transport phenomena被引用数 2

ひとこと要約

本稿では、対称性保護、対称性の破れ、および長距離もつれを統合することにより、1次元の相互作用するスピン系におけるギャップのある量子状態の完全な分類を提示する。時間反転、パリティ、局所ユニタリ対称性を組み合わせた場合の対称性保護トポロジカル（SPT）状態への先行研究の拡張により、対称性分数量、対称性の破れ、長距離もつれが、ギャップのある状態の豊かなスケールを生成する3つの主要なメカニズムであることが明らかになった。

ABSTRACT

Quantum phases with different orders exist with or without breaking the symmetry of the system. Recently, a classification of gapped quantum phases which do not break time reversal, parity or onsite unitary symmetry has been given for 1D spin systems in [X. Chen, Z.-C. Gu, and X.-G. Wen, Phys. Rev. B 83, 035107 (2011); arXiv:1008.3745]. It was found that, such symmetry protected topological (SPT) phases are labeled by the projective representations of the symmetry group which can be viewed as a symmetry fractionalization. In this paper, we extend the classification of 1D gapped phases by considering SPT phases with combined time reversal, parity, and/or on-site unitary symmetries and also considering the possibility of symmetry breaking. In this way, we obtain a complete classification of gapped quantum phases in 1D spin systems. We find that in general, symmetry fractionalization, symmetry breaking and long range entanglement(present in 2 or higher dimensions) represent three main mechanisms to generate a very rich set of gapped quantum phases. As an application of our classification, we study the possible SPT phases in 1D fermionic systems, which can be mapped to spin systems by Jordan-Wigner transformation.

研究の動機と目的

• 1次元スピン系における既存の対称性保護トポロジカル（SPT）状態の分類を、時間反転、パリティ、局所ユニタリ対称性を含む組み合わせ対称性にまで拡張すること。
• 1次元系におけるギャップのある量子状態の分類に、自発的対称性の破れの可能性を統合すること。
• 対称性分数量、対称性の破れ、長距離もつれを3つの基本的メカニズムとして特定することで、ギャップのある状態の理解を統合すること。
• ジョルダン＝ヴァイナー変換を用いてスピン系とフェルミオン系の両方に適用可能な包括的な枠組みを提供すること。

提案手法

• SPT状態における対称性分数量を特徴付けるために、対称性群の射影的表現を用いる。
• 群コhomology理論を用いて、局所ユニタリ、時間反転、パリティ対称性の組み合わせ下でのSPT状態の分類を実施する。
• 秩序パラメータと基底状態の degeneracy を検討することで、自発的対称性の破れの分析を段階的分類に統合する。
• ジョルダン＝ヴァイナー変換を活用してフェルミオン系をスピン系に写像し、フェルミオン系におけるSPT状態への結果の拡張を可能にする。
• 異なるギャップのある状態を分類するにあたり、トポロジカル不変量と対称性量子数の相乗的相互作用を検討する。
• 1次元系の文脈において、短距離もつれ状態と長距離もつれ状態を区別する体系的なアプローチを採用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間反転、パリティ、局所ユニタリ対称性の組み合わせが、1次元ギャップのある量子状態の分類にどのように影響を与えるか？
• RQ2 1次元スピン系における異なるギャップのある状態の出現に、対称性の破れが果たす役割は何か？
• RQ3 対称性分数量と長距離もつれが、1次元系の状態分類においてどの程度共存し、寄与しあうか？
• RQ4 ジョルダン＝ヴァイナー変換を用いて、スピン系におけるSPT状態の分類をフェルミオン系にどのように拡張できるか？
• RQ5 1次元相互作用スピン鎖におけるすべての可能なギャップのある状態を区別する完全なトポロジカル不変量は何か？

主な発見

• 時間反転、パリティ、局所ユニタリ対称性の組み合わせを含めた対称性の統合により、1次元ギャップのある量子状態の分類がより豊かで包括的になった。
• 対称性分数量、対称性の破れ、長距離もつれが、1次元系における異なるギャップのある状態を生成する3つの主要なメカニズムとして特定された。
• さまざまな対称性の組み合わせ下で、自明でないSPT状態を含む、分類枠組みが成功裏に適用された。
• ジョルダン＝ヴァイナー変換の適用により、スピン系の結果を基に、1次元フェルミオン系における可能なSPT状態を導出できるようになった。
• 群コhomologyから導かれる対称性量子数とトポロジカル不変量を用いた体系的な手法により、状態の区別が可能になった。
• 従来の分類では見過ごされていた対称性の組み合わせや状態メカニズムを含め、結果が一般化された。