[論文レビュー] Towards a Covariant Loop Quantum Gravity

Etera R. Livine|ArXiv.org|Aug 30, 2006

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 23被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、時間ゲージを導入しないことで、ローレンツ対称性を完全に保ち、SU(2)の代わりにLorentz群SL(2,ℂ)をゲージ群として用いることにより、共変ループ量子重力（CLQG）を提案する。これにより、連続的な面積スピンスペクトルが得られ、Lorentz群のスピンネットワークが導入され、動的性質が自然にBarrett-Craneスピン泡沫モデルと結びつく。これにより、イムミルツィの曖昧性が解消され、標準LQGにおけるゲージ対称性と現実条件に関する主要な問題が解決される。

ABSTRACT

We review the canonical analysis of the Palatini action without going to the time gauge as in the standard derivation of Loop Quantum Gravity. This allows to keep track of the Lorentz gauge symmetry and leads to a theory of Covariant Loop Quantum Gravity. This new formulation does not suffer from the Immirzi ambiguity, it has a continuous area spectrum and uses spin networks for the Lorentz group. Finally, its dynamics can easily be related to Barrett-Crane like spin foam models.

研究の動機と目的

• 標準LQGでSU(2)が用いられる理由の基礎的問題に取り組む。これは、ローレンツ不変性を破るゲージ固定に起因する。
• 時間ゲージを排除することで、明示的なローレンツ共変性を回復させ、イムミルツィの曖昧性を解消する。
• 完全なローレンツ不変性を保ちつつ、パラティーニ作用に基づく新しい正準理論を構築し、連続的な面積スペクトルを持つLQGの新たな定式化を導く。
• Lorentz群のスピンネットワークを用いた単純なスピンネットワークを通じて、正準定式化とスピン泡沫モデル（特にBarrett-Craneモデル）を直接結びつける。
• 正準LQGと標準スピン泡沫モデルの間の矛盾を解消する。両者ともLorentz群をゲージ群として用いるが、標準LQGではSU(2)が使われている。

提案手法

• 時間ゲージを課さずに、パラティーニ作用の正準解析を実施し、完全な局所的ローレンツ対称性を保持する。
• Lorentz接続と三重体から、ローレンツ変換および時空微分同相変換と整合する2パラメータ族の接続変数を導出する。
• 時空微分同相変換の下で1形式として変換することを要請することで、一意的な共変接続を特定し、明確な正準枠組みを構築する。
• 量子状態をLorentz群SL(2,ℂ)のスピンネットワークとして構成し、特に空間的三角形に対応する(0,ρ)表現を用いる。
• 単純性制約を単純スピンネットワークへの射影によって実装し、Barrett-Craneモデルの運動論的構造と整合性を保つ。
• 正準理論のダイナミクスとBarrett-Craneスピン泡沫モデルを結びつけ、遷移振幅がLorentzスピンネットワーク状態の量子的進化を記述することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間ゲージに依存しない明示的なローレンツ共変性を持つループ量子重力の定式化は可能か？
• RQ2 時間ゲージを排除することで、イムミルツィの曖昧性が解消され、連続的な面積スペクトルが得られるか？
• RQ3 ゲージ群としてLorentz群を用いるスピン泡沫モデルと、一貫して結びついた重力の正準定式化はどのように構築できるか？
• RQ4 スピン泡沫の量子化における第二種制約の役割は何か？ そして、明示的な含みなしに一貫して取り扱えるか？
• RQ5 標準的なSU(2)スピンネットワークと離散スペクトルは、この新しい共変枠組みの極限として回復可能か？

主な発見

• 理論は時間ゲージを用いず、完全な局所的ローレンツ不変性を保ち、現実条件の必要性がなくなる。
• 得られる理論、すなわち共変LQGは、Lorentz群SL(2,ℂ)をゲージ群として用い、標準LQGとは異なり連続的な面積スペクトルを有する。
• 量子幾何学的状態は、空間的三角形に対応する(0,ρ)表現を用いた単純スピンネットワークとして構成される。
• 理論のダイナミクスは自然にBarrett-Craneスピン泡沫モデルによって記述され、単純スピンネットワークが時間発展の下で単純スピンネットワークのまま保たれる。
• 最終的な理論にはイムミルツィパラメータが存在せず、標準LQGにおける長年の曖昧性が解消される。
• 一意的な可換接続が得られ、その極限においてアシュテカール＝バーバー接続に還元され、標準的なSU(2) LQGフレームワークが特別な場合として回復される。